芻議PCK視角下高中生數學交流能力的培養*
——以“幾何概型”一課為例

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芻議PCK視角下高中生數學交流能力的培養*
——以“幾何概型”一課為例

福建省南安市延平中學(362343)鄭明筑

PCK是學科教學知識或教學內容知識(Pedagogical Content Knowledge) 的簡稱.為了研究學科知識怎樣轉化為教學的內容，美國學者舒爾曼最先提出了一個理論框架識別的三種知識: 學科知識、PCK 和課程知識.我國學者董濤研究得出，在數學教師的PCK結構中它含有五種要素：數學教學的統領性觀念、內容組織的知識、學生理解的知識、效果反饋的知識和教學策略的知識.下面以“幾何概型”一課為例，基于PCK結構談談如何培養高中生的數學交流能力.

1課堂教學片段及其分析

不久前筆者所在學校開展了一場關于同課異構的教研活動.執教者是本校及兄弟學校的青年教師.課題是人教版必修3第三章第3節“幾何概型”第一課時的內容.以下是其中的兩個教學片段：

1.1課堂教學片段1——復習“古典概型”

下文中師甲是本校教師，師乙是兄弟學校的教師，兩人均利用了信息技術進行輔助教學.

師甲的教學片段：

師甲通過提問的形式與學生一起復習了古典概型的知識點.

師乙的教學片段：

師乙也是與學生一起復習一下上節課所學的內容，然后給出：

引例1：在區間[0，10]上任取一個整數，恰好取在區間[0，3]上的概率為多少？

在以上的教學片段中，兩位教師均從古典概型的復習入手，為學習新知識作鋪墊.師生雙方的交流活動比較流暢.師甲能夠對學生的回答進行及時的評價，該做法有助于調動學生參與課堂交流的積極性；師乙還進行板書示范，提醒學生注意書寫規范，該做法有利于培養學生的書面表達能力.

1.2課堂教學片段2——“幾何概型的概念及其概率計算公式”

師甲的教學片段：

師甲：請看問題2：在區間[0，9]上任取一個實數，恰好取在區間[0，3]上的概率為多少？問題1與問題2有區別嗎？

生眾：一個是整數，一個是實數.

師甲：還有呢？

生眾：一個是古典概型，一個不是.

師甲：好，很好！下面我們再來看問題3：剪繩子問題.

圖1

取一根長度為3m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,有多少種可能性？那么1次剪得線段的長度都不小于1m的情況該如何剪，概率有多大？

師甲：是古典概型嗎？

生眾：不是.

師甲：我請一位同學來說說， 有多少種可能性？

生2：無限多種.

師甲：那概率有多大？

生2：……(沉默中)

師甲：能借助幾何圖形轉化嗎？

生2：……(沉默中)

生2：明白.

師甲：這題用什么來表示概率？

生2：用線段長度的比.

師甲：好，請坐. 下面我們再來看問題4：如圖2中的兩個轉盤，規定當指針指向B區域時顧客就中獎了;在兩種情況下某顧客中獎的概率分別是多少?

圖2

師甲：圖2(1)顧客中獎的概率為多少？

生眾：二分之一.

師甲：圖2 (2)顧客中獎的概率為多少？

生眾：五分之三.

師甲：這題用什么來表示概率？

生眾：用面積的比.

師甲：好，下面我們再來看問題5：一只蒼蠅在一棱長為60cm的正方體籠子里飛.請問蒼蠅距籠邊大于10cm的概率是多少?

生3：……(沉默中)

圖3

師甲：我畫一個立體圖形(圖3)，你觀察一下，概率是多少?

生3：……(沉默中)

師甲：大正方體棱長為60cm，小正方體棱長為40cm，概率就等于小正方體的體積與大正方體的體積之比，是嗎?

生3：是.

師甲：這題用什么來表示概率？

生3：用體積之比.

師甲：好，請坐.

師甲：上面三個例子都有什么特點？

生4：……(沉默中)

師甲：類比古典概型的特征.

生4：試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個；每個基本事件出現的可能性相等.

師甲：還有它們的概率與長度(面積或體積)成比例.這樣，我們就能歸納出： 如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.通過對前面三個例子的總結，可以得到在幾何概型中，事件A發生的概率的計算公式為：

師乙的教學片段：

師乙先給出引例2(在區間[0，10]上任取一個實數，恰好取在區間[0，3]上的概率為多少？)及引例3(師甲的問題4)，再引導學生通過對前面引例2、3的總結，得出幾何概型的概念及幾何概型的概率計算公式.

在以上的教學片段中，兩位教師都對教材進行再加工處理，以“問題串”的形式來組織教學.這樣的處理可以為師生的課堂交流創設平臺和提供素材.師甲的問題2和問題3應去掉一個，避免簡單重復而影響學生的積極性.問題5的設置因起點過高而不能取得預期的效果，反而影響學生參與課堂交流. 師甲在課堂教學中過于依賴PPT，板書極少，這嚴重影響了師生雙方的交流.還有, 師甲沒能給學生提供討論的機會也影響了學生之間的交流.師乙雖然給了學生討論的機會，但是沒有起到應有的效果. 兩位教師均沒讓學生上來板演或用多媒體智能展臺展示學生的課堂練習，該做法讓學生失去了一個培養數學交流能力的重要途徑.還有，當學生有疑惑時，要留給學生思考問題的時間，而不是急于給出問題的結論，否則會打擊學生的積極性，影響師生之間的有效交流.

2幾點思考

數學交流是指學生以口頭語言或書面語言的方式，建構對數學知識、思想、觀念的理解和表達等數學活動的動態過程.2003年4月頒布的普通高中《數學課程標準》(實驗)把“提高數學表達和交流能力”作為高中數學課程的理念之一.雖然，數學交流在我國數學教育理論界引起了一定的注意，但在數學教育實踐中，還沒有引起充分的重視.

2.1從數學教學的統領性觀念的角度來看

教師數學教學的統領性觀念是對數學教學目的的看法，它受教師數學信念制約.在本案例中,師甲較注重與學生口頭語言表達交流，包括個別或集體的，但書面表達及學生之間的交流重視不足(師甲整節課沒給學生提供討論的機會且板書極少).從師乙要學生相互討論卻沒有討論聲可看出平常重視不足(師乙借班上課，其班級也是師甲授課的班級).師乙雖然有所重視但還要加深認識.更遺憾的是，兩位教師均沒讓學生上來板演或用多媒體智能展臺展示學生的課堂練習. 因此，我們應該清醒地認識到，對數學交流重視不夠的狀況會影響學生的全面發展.數學教育應該要重視數學交流活動，重視對學生數學交流能力的培養，首要任務就是教師必須樹立注重培養的意識.

2.2從數學內容組織和教學策略的角度來看

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾曾說：“數學學習的過程就是要通過數學語言，用它特定的符號、詞匯、句法和成語去交流，去認識世界.” 數學交流的載體是數學語言.只有具備了數學語言表達能力，學生才能順利地用口頭或書面的形式向別人解釋自己的數學學習心得和結果，才能成功地吸收別人的數學思想和方法而迅速地提高自己.

因此，首先教師應給學生創設交流的平臺與機會. 建構主義認為，個體學習不是一個被動接受知識的過程，而是由認知主體主動積極建構的過程.而且也是在與他人的交互作用中實現的，是一種社會活動.在本案例中, 兩位教師這方面做得略顯不足.其次，教師應加強符號語言、文字語言和圖表語言三種數學語言及自然語言之間的相互轉換溝通的訓練，對學生進行有意識的聽、說、讀、寫等基本技能的訓練.例如組織學生課堂討論，課堂練習展示，撰寫學習小結、心得體會或小論文等活動. 在案例中, 兩位教師放棄了課堂練習展示這一重要途徑，不能不說是個很大的遺憾. 還有，處理冷場情況時都較為心急，故影響了課堂效果.

2.3從學生理解和效果反饋的角度來看

首先，教師應當為學生營造一種能夠充分溝通、合作和支持的課堂學習環境.通過交流，學生可以看到問題的不同側面和解決問題的不同途徑，從而產生對知識的新的洞察，加深對新知識的理解.教師應對所有學生都抱有信心，鼓勵每一個學生自由地、大膽地參與探索和交流，讓他們真心地愛上數學交流. 在本案例中, 兩位教師的做法還有待改善.

其次，教師提供交流的問題最好是課堂上學生已有的認知結構與新知識形成沖突最激烈的矛盾的反映，是學生最易混淆、感覺最疑惑、最難接受的地方，也是最易激發學生興趣的地方.還有問題的提出應在學生的“最近發展區”內，還應注意留給思考的時間，遇到學生有疑問時，應循循善誘，而不能直接給予結論.在本案例中,師甲設置的問題5偏難，故出現冷場的情況.

第三，教師應對學生的數學交流作出及時評價.如對學生通過交流有沒有掌握知識與技能，解決問題的方法是否合理恰當等進行評價；對交流過程中學生運用數學語言的能力、學生的協作能力及創新精神等作出定性的評價；還要對學生的情感、體驗等方面作出評價.在本案例中,師甲做得相對好些.

總之，只有我們對數學交流的價值有了充分的認識，并落實于平時的教學中，才能體會數學交流在學習數學中的作用；才能不斷提高學生的交流能力，促進他們全面發展.

參考文獻

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[4]李渺，徐新斌.PCK視角下數學教師“解惑”的案例分析[J].數學通報，2012(11):32-34.

*本文系福建省教育學院課題(JYZD-2013010)《基于PCK結構框架的高一數學課例研究》的階段性成果.