用好“變式”理解概念

【摘要】變式教學是在教學中使學生確切掌握概念的重要方法之一，其中直觀變式有利于“形成”概念，正例變式有利于“同化”概念，反例變式有利于“精致”概念。用好“變式”教學，能使數學概念的理解和概括精確化，提高概念教學的有效性。

【關鍵詞】變式；理解；概念

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）11-0038-02

【作者簡介】黃偉星，江蘇省無錫市教育科學研究院（江蘇無錫，214000），高級教師，無錫市數學學科帶頭人。

數學概念是對客觀事物的數量關系、空間形式或結構關系的特征概括，是對一類數學對象的本質屬性的反映。小學數學中有大量的概念，它們是數學基礎知識的重要組成部分，也是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎。變式教學則是在教學中使學生確切掌握概念的重要方法之一，即在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明概念的本質屬性，或變換概念的非本質特征以突出本質特征，使學生理解概念的本質特征，辨別其非本質特征，從而形成概念。下面，筆者就小學數學概念教學中的“變式”教學談點看法。

一、通過直觀變式突出概念的本質屬性，形成數學概念

數學概念的一個基本特征是抽象性，但許多數學概念又直接來自具體的感性經驗，因此，概念形成的關鍵是建立感性經驗與抽象概念之間的聯系。

顧泠沅的研究表明，影響學生掌握幾何概念的主要因素有三個：已具備的圖形經驗、概念的敘述以及掌握概念所依據的圖形變式。以學習蘇教版四下三角形概念為例，教師通常會借助于下面兩類變式：一是通過日常生活中的直觀材料組織已有的感性經驗，使學生理解概念的具體含義；二是利用不同的圖形變式，作為直觀材料與抽象概念之間的過渡，使學生原有的感性經驗從具體直觀上升到圖形直觀材料的水平，進而掌握概念圖形的基本特征，準確地把握概念的外延空間。具體步驟如下：（1）分化出概念例證中的各種屬性。學生在引入環節已經感知生活中的各種三角形，此時教師就需要引導學生抽取出大小、三條線段、三個角、角有大小、圖形封閉等各種屬性。（2）概括出例證的共同屬性，并提出關于它們的共同本質屬性的種種假設。上例中，共同屬性有：三條線段、三個角、角有大小、圖形封閉、平面圖形。共同本質屬性可以假設為：三條線段，三個角，圖形封閉，平面圖形，等等。這里，提出本質屬性假設的方法是一條或幾條共同屬性的結合。（3）檢驗假設，確認關鍵屬性。檢驗過程中，采用變式是一種有效手段。如上例中，通過變式可以發現，三個假設在各種變式中均出現，因而都可以確認為共同本質屬性。（4）完成本質屬性的概括，形成概念。驗證了假設以后，把本質屬性抽象出來，并區分出有從屬關系的本質屬性，用語言概括成為概念的定義。

這里必須強調的是，在概念的形成階段，具體或直觀變式的主要作用是建立感性經驗與抽象概念之間的聯系。由于數學概念的本質是抽象的，因此，在教學的適當階段還應盡可能擺脫具體或直觀的背景，使概念上升到抽象水平。

二、通過正例變式突出概念的外延，同化數學概念

數學概念的建立一般有兩種教學方式：一種是以概念形成方式進行教學（如上例中三角形概念的學習），一種是以概念同化方式進行教學。如果采用概念同化方式進行教學，則需要完成如下幾個步驟：（1）對概念進行特殊的分類，討論這個概念所包含的各種特例，突出概念的本質屬性。（2）揭示概念的關鍵屬性，給出概念的定義、名稱和符號。（3）使新概念與認知結構中已有的有關概念建立聯系，把新概念納入到已有的概念體系中，同化新概念。（4）用肯定例證與否定例證讓學生辨認，使新概念與已有認知結構中的相關概念分化。

同化概念學習過程中的教學變式主要包括兩類：一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為正例變式，其中又可以根據其在教學中的作用分為概念的標準變式和非標準變式；另一類是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對象有某些共同的非本質屬性的變式，其中包括用于揭示概念對立面的反例變式。在兩種正例變式中，標準變式雖然有利于學生對概念的準確把握，但也容易限制學生的思維，從而人為地縮小概念的外延，解決這個問題的方法之一就是充分利用非標準變式，通過變換概念的非本質屬性，突出其本質屬性。以“三角形的分類”教學為例，用好、用足正例變式。在學生獲得三角形的概念后，學生學習銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形等概念，就屬于概念的同化方式，這是由一般到特殊，經演繹方式獲得概念的一種形式。教學設計如下：（1）分類。呈現多個三角形，引導學生關注到三角形中的角有大小，并數出三角形中各有幾個銳角、直角和鈍角；接著填寫表格，引導學生進行觀察和分類。（2）下定義。根據分類，發現銳角、直角、鈍角三角形中角的本質特點，給出定義。（3）同化。通過比較，進一步明晰概念，并理解這三類三角形和所有三角形的關系，即把所有的三角形看作一個整體，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形都是這個整體的一部分。（4）變式。可以設計這樣一些練習，首先是直觀判斷練習，練習形式有畫一畫，連一連，圍一圍等。其次是操作練習，練習形式有折一折，剪一剪，畫一畫等。例如：在直角三角形中畫一條線段，把它分成兩個三角形。最后是拓展練習，練習形式有猜一猜。例如，先呈現三角形中的一個鈍角，使學生體會到如果三角形中有一個角是鈍角，那么這個三角形是鈍角三角形；再呈現三角形中的一個直角，使學生體會到如果三角形中有一個角是直角，那么這個三角形是直角三角形；最后呈現三角形中的一個銳角，使學生體會到光憑三角形中的一個銳角是無法判斷的，還要看其他兩個角，如果三角形中的三個角都是銳角，那么這個三角形是銳角三角形。進一步讓學生體會到，如果三角形中最大的一個角是銳角，那么這個三角形也是銳角三角形。通過正例變式，學生掌握了這些“如果……那么……”形式的句子，就掌握了三角形分類的概念。

三、通過反例變式明確概念的內涵，精致數學概念

概念的內涵與外延是對立而統一的，內涵明確則外延清晰，反之亦然。因此，概念的教學要在內涵上下功夫，使學生對概念所包含的對象集合有一個清晰的邊界。

不管是形成概念還是同化概念，教學中都要善于應用反例變式精致概念，一方面可以幫助學生建立相關概念之間的聯系；另一方面也可以預防或者澄清學生在概念理解時可能出現的混淆，從而確切地把握概念變式的本質特征。這類反例變式一般有兩個來源：一是來自概念之間的邏輯關系；二是基于學生常見的錯誤。還有一種形式是讓學生舉出不合某屬性的例子。例如，高年級的學生都能認識到正多邊形的各邊相等，各角相等。教學中，可以出示“各邊都相等的多邊形是正多邊形”這一命題引導學生判斷是否正確，如果正確，請說明理由，如果不正確，請舉一反例。在去掉本質屬性“各角相等”后，學生需要對各邊都相等的多邊形進行多次的檢驗、選擇、批判，從而明白哪些是本質特征，哪些是非本質特征，再舉出反例，典型的反例是“菱形的各邊都相等，但它不是正四邊形”。這一思考過程，學生思維的批判性和創造性也得到了很好的培養。從而明確如果一個多邊形的各邊相等，各角相等，那么這個多邊形是正多邊形；反之如果一個多邊形是正多邊形，那么這個多邊形各邊相等，各角相等。通過反例變式，再次使學生掌握“如果……那么……”形式的句子，理解正多邊形的本質特征。

總之，在數學概念的理解和掌握過程中，直觀變式有利于“形成”概念，正例變式有利于“同化”概念，反例變式有利于“精致”概念，從而盡可能避免非本質屬性泛化的錯誤，使數學概念的理解和概括精確化，提高概念教學的有效性。