如何在數學教育中提升學生的數學核心素養

王尚志

進入21世紀，社會、科學技術和數學發展異常迅速，甚至超出想象，這勢必會影響教育，影響基礎教育，影響數學教育。20世紀學生應具備的基本能力與21世紀學生應具備的核心素養一致嗎？哪些不一致？這是跨世紀的挑戰，也是建立基于核心素養的課程體系的背景。大部分國家課程標準以8～10年為周期進行修訂，這會成為“新常態”，但我國教師并不適應。例如，中小學的每道數學題，借助網絡信息檢索技術都可以找到答案，這對教學中的重要環節—作業提出挑戰，如何留作業，留什么樣的作業，如何指導學生獨立完成作業，如何提高作業效率……

在數學教育中，數學運算仍是關注要點，是數學的核心素養，但隨著計算機科學的發展，其要求應與時俱進，有所調整，更強調建立運算的思路，掌握解決問題的通性通法，減少對運算速度的要求。數學教師應置身于時代發展中，才能更好地認識和理解課程改革，直面挑戰，創造性地推進教育發展。

一、正確認識和理解數學核心素養

21世紀，我國確定了“立德樹人”“以人為本”的教育改革指導思想，強調以課程為載體來落實，進而以高中課程標準修訂為突破，探索、積累經驗，逐步推廣。高中課程標準修訂的主要步驟包括：研制、確定中國高中學生21世紀應具備核心素養；各個學科研制、確定學科核心素養；以此為基礎，研制學科—數學課程標準。要想更好地理解本次課程修訂，需要了解我國課程的基本變化歷程。它從“以知識立意課程體系”，逐步發展為“以能力立意課程體系”，進而開始探索建立“以素養立意課程體系”。“以素養立意課程體系”主要是將培養、提升學生的核心素養（通識）、學科核心素養作為課程基本目標，根據每一個學科的特點，把三維目標通過每一個學科的核心素養加以落實，把課程總目標與學科教育有機結合。

中國教育發展中的各個時代的教育工作者都在思考一個基本問題，即：教育應留給學生什么？最重要的是什么？同樣，我國數學教育工作者也一直思考：數學教育應留給學生什么？新中國成立后，以華羅庚為代表的一批數學家提出要重視能力培養，明確指出：在數學教育中，計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力是三大基本能力，得到數學教育界的廣泛認同。2003年，高中數學課程標準又將三大基本能力拓展到五大基本能力：空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理。

什么是核心素養？林崇德教授及其團隊做了這樣的描述：核心素養是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。那什么是數學核心素養？數學核心素養是具有數學基本特征的適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質。不嚴格地說，數學核心素養不僅包含外顯能力，還包含內在思維品質。例如，在數學方面，可以解決一個問題或解答一個題目，但對解決問題思想的理解深度是有差別的。前者體現出能力，記憶或模仿也可以幫助解決問題，后者反映出思維品質，內在地、持續地發揮作用。

數學核心素養是數學課程目標的重要的基本組成部分。發展學生六個核心素養，有助于他們學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界；有助于他們掌握“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）；有助于他們在未來的生活工作中，發現、提出問題，分析、解決問題；有助于認識、理解數學的科學價值、應用價值、文化價值，形成批判性思維習慣、理性精神。在數學課程標準中，對每一個數學核心素養的理解和認識，主要從內涵、價值（數學、教育）、表現（數學、教育）、水平等方面闡述。每個數學核心素養通過“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”四個方面表現出來，這四個方面也是描述核心素養水平的四個維度。

每一個數學核心素養都有自身的獨立性，在學習數學的過程中，在發現與提出、分析與解決數學問題和實際問題中，各自在不同的環節發揮不同的作用，但我們更需要強調整體性，六個核心素養是一個有機聯系的整體，它們不是兩兩“不交”的獨立素養，而是相互“交著”相互“滲透”的，在直觀想象中，蘊含著抽象、推理（運算）、模型；在抽象概括中，也離不開直觀、推理、模型；在數學建模的過程中，更需要直觀、推理、模型交互發揮作用……

數學核心素養不是獨立于知識、技能、思想、經驗之外的“神秘”概念，它綜合體現出對數學知識的理解、對數學技能方法的掌握、對數學思想的感悟及對數學活動經驗的積累。數學核心素養不能離開數學的學習、應用、創新，綜合體現在“用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界”的過程中，綜合體現在“發現與提出問題、分析與解決問題”的過程中。

二、基于數學核心素養的數學課程體系

基于數學核心素養的數學課程要突出三件事，一是符合數學規律并結構清晰；二是突出數學本質；三是便于轉化，轉化為數學核心素養。

1.體現選擇性的高中數學課程結構

不同的學生擁有不同的特長，會選擇不同的發展方向，需要有不同水平的數學核心素養，而數學課程標準為不同發展方向的學生設計了不同的課程。

必修課程為學生發展提供共同基礎，是高中畢業考試的內容要求。選修I課程是供學生選擇的課程，必修課程和選修I課程是高考的內容要求。選修Ⅱ課程分為ABCDE五類。這些課程為學生確定發展方向提供引導，為學生展示數學才能提供平臺，為學生發展數學興趣提供選擇，為大學自主招生提供參考。學生可以根據自己的志向和大學專業的要求選擇學習其中的某些課程。A課程是部分理工類（數學、物理、計算機、精密儀器等）學生可以選擇的課程。B課程是經濟、社會（數理經濟等）和部分理工類（化學、生物、機械等）學生可以選擇的課程。C課程是人文類（歷史、語言等）學生可以選擇的課程。D課程是體育、音樂、美術（藝術）類學生等可以選擇的課程。E課程（校本課程）是學校自主開設，供學生自主選擇的課程，特別包括大學先修課程（CAP）。

2.體現數學核心素養發展的高中數學內容結構

數學有豐富的研究領域、問題和方法，形成了很多特點鮮明、作用不同的數學分支，但數學又是一個有機整體，擁有清晰的結構，從學習的角度來說，更是如此。只有這樣，才能更好地提升、發展學生的數學核心素養。根據高中學習特點和需要，高中數學內容將突出三條貫穿始終的內容主線：函數及應用、幾何與代數、統計與概率。數學建模與數學探究是另一條貫穿始終的主線。另外，還應將數學文化滲透在高中課程內容中。抓住這些貫穿始終的主線，才能反復感受到抽象、推理（運算）、模型、直觀所起的作用，有效地促進學生數學核心素養的提升和發展。

3.體現數學本質的關鍵問題和主要概念、定理、模型、思想方法、應用

在整體認識高中數學內容結構和主線的基礎上，需要進一步深入思考支撐主線的關鍵問題和主要概念、定理、模型、思想方法、應用等。以函數主線為例，首先，抓住以下關鍵問題：整體、全面認識函數概念；深入理解函數性質—整體性質與局部性質；掌握一批基本函數類；把握函數應用；感悟研究函數思想方法；深入理解主要概念、定理、模型、思想方法、應用等，步步深入，逐步提升數學核心素養。

三、基于數學核心素養的數學教學

教什么，如何教？這是教師教學的永恒課題。基于數學核心素養的教師數學教學，首先要更新觀念。培養并提升核心素養，不能依賴模仿、記憶，更需要理解、感悟，需要主動、自覺，將“學生為本”的理念與教學實際有機結合。

1.整體把握數學課程

基于數學核心素養的數學教學，整體理解數學課程是基礎。高中數學課程是一個有機整體，要整體理解數學課程性質與理念，整體掌握數學課程目標，特別需要整體感悟數學核心素養，整體認識數學課程內容結構—主線—主題—關鍵概念、定理、模型、思想方法、應用，整體設計與實施教學。例如，以雞兔同籠為例。在小學，可以使用“列舉方法”，也可以利用“逼近方法”，還可以使用“假設方法”，在今后的學習中，這些方法依然會發揮作用。但更需要重視的是學習“方程組方法”。因為數學教學不僅是為了解決某個具體問題，更需要思考如何解決一類問題，更大的一類問題。把所有雞兔同籠問題變成一個數學問題，給出求解的一般方法—運算程序。不僅如此，還可以為初中引入二元一次方程組奠定基礎，解決更大一類問題。到了高中，還需要進一步從解析幾何、向量的角度解讀……在這一過程中，學生會不斷感悟、理解抽象、推理、直觀的作用，得到新的數學模型，改進思維品質，擴大應用范圍，提升關鍵能力，改善思維品質。

2.主題（單元）教學

基于數學核心素養的數學教學，要求教師能從一節一節的教學中跳出來，以“主題（單元）”作為進行教學的基本思考對象?？梢砸浴罢隆弊鳛閱卧?，如將“三角函數”作為教學設計單元；也可以以數學中的重要主題為教學設計單元，如“距離”或“幾何度量關系：距離、角度”等；也可以以數學中通性通法為單元，如“模型與待定系數”等。

這是深度學習的核心，是深度學習的抓手，也是整體把握數學課程的抓手，可突出本質—數學核心素養，有利于教學方式多樣化，把“教”與“學”結合起來，促進學生自主學習；有助于提高數學教師專業水平（數學、教育教學理論、實踐），這是數學骨干教師的基本功，不是教教材，而是創造性地使用教材教數學。

主題（單元）教學的要素，最重要的是進行整體分析，包括數學分析、標準分析、學情分析、教材對比分析、重點（本質、核心素養）分析及教學方式分析，進而確定主題教學目標，選擇、設計情境和學習活動。根據學生實際，確定教學流程，設計每一節課教學，進行教學實施，并不斷反思—循環—提升。

3.抓住數學本質

我國著名數學家華羅庚反復強調：能把書讀厚，又能把書讀薄，讀薄就是抓住本質，抓住重點。抓住本質，才能更好地理解和提升數學核心素養。

4.問題引領—發現、提出問題與分析解決問題

在關于數學和數學教育的大討論中，問及在數學和數學教育中什么最重要時，著名數學家P. Harmous 在一篇總結文章中強調“問題是關鍵”，數學概念、定理、模型和應用都是在解決問題的過程中總結形成的。在數學課程目標中，特別強調發展學生發現、提出問題與分析解決問題的能力，在基于數學核心素養的教學中，這也是關注的重點。

5.創設合適情境

創設合適情境是基于數學核心素養教學的另一關注點。首先要對“情境需要”有個全面的認識，包括實際情境、科學情境、數學情境、歷史情境。情境選擇的基本原則是便于理解學習內容和要完成的任務，循序漸進，進而考慮激發學生的興趣和熱情。

6.掌握學情，加強“會學”指導

“授之于魚，不如授之以漁”是古訓，這與學會學習的理念一致，“會學”比“學會”重要?！皶W數學”應包括：閱讀理解、質疑提問、梳理總結、表達交流。以“數學閱讀理解”為例，需要清楚數學語言由數學自然語言、符號語言、圖形語言組成，它的特點是準確、清晰、簡潔，數學閱讀就要會讀“數學普通話”“符號”“圖形（表格）”。而數學符號、圖形（表格）又是一個系統，彼此聯系，學生不能很快習慣，需要指導，不能太急。數學教師強調“學法指導”，是一個很好的經驗，需要堅持、總結、提升。

四、基于數學核心素養的數學學習

基于數學核心素養的數學學習，應關注以下問題。

1.視野—見識

學習數學需要有開闊的視野，了解數學的歷史，了解數學的發展，了解數學在社會發展中的作用，在美國科學委員會寫給美國總統的咨詢報告中特別強調：“高科技本質上是數學技術”；了解數學在現實生活中的作用，英國研究理事會的評估報告認為，數學研究對英國經濟的貢獻約占英國所有工作崗位的10%和GDP增加值總額的16%。對優秀學生，教師應引導他們不滿足學到數學知識，得到好成績，還需要好的見識。見識比知識更重要。

2.做題=數學學習？會學—自主

以做題取代數學學習，這是數學教育中的突出問題。通過做題鞏固學習內容，這是學習數學的重要環節，但僅靠做題有很大的局限性。學習數學也需要理解數學概念、定理、應用，需要理解不同內容之間的聯系。

做題與做數學是有區別的。做數學，首先要選擇問題，進而猜想結論，確定條件，探索解決問題的方法；做題，完全不同，條件和結論是確定的，方法也是學習過的，在鍛煉數學素養方面有一定的局限性。

3.積極參與數學建模和數學探究

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。數學探究是圍繞某個具體數學問題，開展自主探究、合作研究，并最終解決數學問題的過程。它們是高中階段數學課程的重要內容?！皵祵W建?；顒印焙汀皵祵W探究活動”主要以課題研究的形式開展。課題研究過程包括選題、開題、做題、結題四個環節，這是促進學生自主學習的一項重要措施，可以讓他們經歷解決問題的過程。

選題可由教師給定，也可由學生與教師協商確定，還可以讓學生自己選擇實際問題或數學問題。他們可以采取獨立或小組合作的方式，并撰寫開題報告。教師要組織開展“開題”交流活動。“做題”就是指解決問題的過程，包括描述問題、數學表達、建立模型、求解模型、得到結論、反思完善等?！敖Y題”包括撰寫研究報告和報告研究結果，由教師組織學生開展結題答辯，可采用專題作業、測量報告、算法程序、制作實物或研究論文等多種形式。對于研究報告的評價，教師可以組織評價小組，邀請校外專家、社會人士、家長等進行評價。研究報告及其評價應當作為文件存入個人學習檔案，為大學招生提供參考和依據。

4.會交流

在數學學習為主的階段，交流很重要。聽一遍不如看一遍，看一遍不如講一遍，講一遍不如寫一遍，很有道理。大學研究生授課的主要方式是讓學生報告，導師很容易從報告的過程中判斷是否真懂，希望中學教師和學生也能借鑒這種方法—交流。

基于數學核心素養的評價是落實的重要措施，尤其是高考評價。如果高考試題、考試等形式不進行改變，這次改革就很難落實。當然，也應循序漸進?；跀祵W核心素養評價的命題，要關注以下要素：（1）命題者要整體把握高中數學課程，圍繞內容主線—主題（單元）和關鍵概念、結論、模型、思想方法、應用展開；

（2）突出數學本質；（3）創設合適情境，強調發現、提出和分析、解決問題背景，情境包括實際情境、科學情境、數學情境、歷史情境；（4）強調開放性、探究性。

如何在數學教育中提升學生的數學核心素養，是數學教育工作者面臨的新課題。一線數學教師是落實本次高中課程標準修訂的關鍵，希望廣大教師注重提升自身數學素養，特別是數學核心素養，關注數學內容、數學教學理論、數學教學實踐與數學核心素養的有機結合，直面問題，不斷探索，為學生營造良好的數學教育環境。

（作者單位：首都師范大學數學科學學院）

責任編輯：孫建輝