牛頓第二定律應用典例解析

孫亞慶

物體間通過力的相互作用，交換運動，也彼此制約著對方的運動。牛頓第二定律是為它們之間相互作用，相互交換運動制定的共同遵守的法律約定合同，是它們平等運動于宇宙時空的行為準則，不得違背。牛頓第二定律是力學中進一步向能量守恒和動量守恒方向發展的基石，是物理學最為基礎的知識。學好它是物理學第一位的任務。

一、應用牛頓第二定律解題的一般步驟

（1）確定研究對象，分析它的受力情況，畫出受力圖。注意不能遺漏任何一個力，又要避免重復，因為物體最終所獲得的加速度為所有外力共同作用的結果。

（2）找出所受外力的合力表達式，采用正交分解。通常其中一坐標軸選為加速度所在的方向比較容易計算。

（3）應用牛頓第二定律列出方程，求解作答。在求解過程中，一般先進行字母運算，得出解答的一般形式，然后再代入數值進行計算，這樣不但可以減少煩瑣的數字運算，而且還能獲得題中相關量之間的變化關系。

（4）對結果在各種條件下進行討論，達到舉一反三的效果。

二、單個質點的動力學問題

例1、一木塊能在與水平面成α角的斜面上勻速滑下，若使它以初速度v0沿此斜面向上滑動，試證它能上滑的最大距離

解：（1）先分析木塊勻速下滑的過程，木塊受重力G、彈力N，動摩擦力f，如圖1-a所示，運用正交分解有

又f=u·N

解得：

（2）用同樣的方法分析木塊的勻減速上滑過程，受力如圖1-b所示，根據牛頓第二定律得：

其中f=u·N=G·sinα

解得：a=2g·sinα（1）

由運動力學規律和（1）式得：

v02=2a·s

討論：①如果tanα=u，即斜面傾角滿足此條件式時，木塊正好能勻速下滑。

②如果tanα>u，物體將勻加速下滑。

③如果tanα

三、多個質點構成的物體系的動力學問題

上面討論的是單個質點的動力學問題，但是在實際問題中，會經常遇到幾個有相互作用力的物體系的動力學問題，這種情況一般都采用“隔離法”來求解。

所謂“隔離法”就是根據需要把研究對象從整個物體系中“隔離”出來，當作單個質點問題審查處理。具體步驟如下：

（1）選擇“隔離體”。一般先選已知條件比較齊全的物體作為“隔離體”，后選其它的物體。

（2）根據牛頓第二定律解題的一般步驟，對每一個“隔離體”運用正交分解法列方程。

（3）如果獨立方程的個數少于未知量的個數時，要考慮相互聯系著的個體之間的作用力與反作用力的相等關系。

（4）為了解答相互聯系著的物體的動力學問題，還必須寫出由運動學條件所確定的各“隔離體”之間的加速度關系。通常情況下，各連接體的位移、速度、加速度全都相等。

例2、一條輕繩子跨過定滑輪，在輕繩子的兩端各掛有物體A、B，如圖-2示，已知mA=0.5kg，mB=0.1kg，開始時物體A離地面h=35cm。

求：（1）A物體下落的加速度大小？

（2）A物體落地時的速度大小？

（3）A物體落地后，B物體還能繼續上升多高？

解：（1）根據牛頓第二定律有：

對于A：GA-T=mA·aA①

對于B：T-GB=mB·aB②

據題意有aA=aB=a，由①+②得GA-GB=（mA+mB ）·a③

③式所表達的含義是將A和B視為一整體，內部之間通過繩子的相互作用力已彼此抵消，運用牛頓第二定律得出的結果，即：A+B=AB.

（2）A物體拖著B物體從靜止開始勻加速下降，加速距離為h，最終得到的落地末速度為：

（3）A物體著地后，繩子失去對B的拉力，B僅受重力，開始以初速度Vt作豎直上拋運動，直至速度減為0

例3、質量m1=4kg和m2=8kg的兩個物體，用一輕繩相連，沿著傾角為30°的斜面下滑，如圖-3示，若m1與斜面間的動摩擦因數為0.25，而m2與斜面間的動摩擦因數為0.50。

求：（1）各個物體的加速度？

（2）繩的拉力？

解：（1）由于繩的牽連，m1和m2具有相同的加速度a，可視為整體，如圖-3a示，根據牛頓第二定律有：

（m1·gsin30°+m2·gsin30°）-（m1·gcos30°u1+m2·gcos30°u2）=（m1+m2）·a

上式第一項g·sin30°為重力的分力——下滑力產生的沿斜面向下的加速度，后面兩項和為動摩擦力產生的沿斜面向上的加速度。可見每個力都對加速度有貢獻，少算或多算任何一個力都不行，因為這相當于少算或多算了它們各自對加速度的貢獻，肯定是錯的。

（2）要計算繩子的拉力，需從繩子處分割開，單獨研究m1或m2，把繩子的拉力變成它們的外力才可以。因為內力是物體內部各部分之間的力，彼此間抵消，對整個物體不產生加速度效應。只有外來的力才一定對物體產生一定的加速度。

“隔離”出m1，受力如圖-3b示：

根據牛頓第二定律有：

對于連接體問題，一般先采用“整體法”求出加速度，再用“隔離法”求出彼此之間的作用力。要得出正確的結果，準確的受力分析是關鍵。

拓展思考：如果兩物體與斜面間摩擦因數相等，兩物體將如何運動？T是多大？

例4、如圖-4，A靜止于光滑的水平面上，板A與物體B質量依次為M、m，若物體相對于水平面的初速度為v0，物體B與A板間的動摩擦因數為u，A木板長為L，B物體的長度忽略不計，求：（1）物體A和B板的加速度；（2）初速度v0滿足什么條件時，物體B最終不從A板上滑下來。

解：（1）由于A和B的加速度不相等，只能用“隔離法”單獨研究，對于A受力如圖-4a示，

對于B，受力如圖-4b示，

u·mg=m·aB

aB=u·g

很顯然彼此之間的動摩擦力雖然相等，但作用在質量不等的兩個物體身上，各自獲得加速度并不相等。

（2）要使物體B不從A板上滑下來，必須滿足當A和B最終的速度相等再不發生相對滑動時，B在A上滑過的距離不大于L。

設它們的最終速度為V，根據題意有：

聯解得：

拓展思考：如果B在A上滑過的距離大于L，B最終能從A上滑出，A、B各自的滑出速度如何算？