把數(shù)學(xué)模型思想融入到線性代數(shù)教學(xué)中的思考

杜潤梅 郭明浩 孫瑤

【摘要】 線性代數(shù)在各學(xué)科，各領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，而線性代數(shù)的知識是枯燥，乏味的.我們分析了把數(shù)學(xué)模型的思想融入到線性代數(shù)教學(xué)中的重要意義，并列舉了兩個簡單實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】 線性代數(shù)；數(shù)學(xué)模型；建模

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，線性代數(shù)在各學(xué)科，各領(lǐng)域中的應(yīng)用更為廣泛.線性代數(shù)是所有高校理工類專業(yè)及經(jīng)管類專業(yè)中的一門非常重要的公共基礎(chǔ)課程之一，它具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和實(shí)用性，它是學(xué)生學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的基礎(chǔ)，也是學(xué)生用來解決一些實(shí)際問題的重要方法.然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的知識時，大多反映線性代數(shù)的知識枯燥，計算復(fù)雜，沒有興趣.因此，在線性代數(shù)教學(xué)中結(jié)合實(shí)際問題，把數(shù)學(xué)建模的思想融入到線性代數(shù)教學(xué)中，可以有效的激勵學(xué)生去學(xué)習(xí)線性代數(shù)，并能創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題.

通過高等教育心理學(xué)的學(xué)習(xí)，我們都知道，學(xué)生在學(xué)習(xí)時，只有明確自己的學(xué)習(xí)目的，認(rèn)識到學(xué)習(xí)的意義，才能產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，有強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動機(jī).如果將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到線性代數(shù)的日常教學(xué)中，能夠讓學(xué)生把理論知識和實(shí)際問題聯(lián)系起來，認(rèn)識到所學(xué)知識的用途，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，而且可以調(diào)動學(xué)生使用線性代數(shù)的知識解決實(shí)際問題的積極性，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.把數(shù)學(xué)模型思想融入到線性代數(shù)教學(xué)中，不僅能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)知識，理解知識，運(yùn)用知識，對教師本身的業(yè)務(wù)能力也有提高.教師在教學(xué)時，不僅要具有扎實(shí)的理論知識功底，還需要具有解決實(shí)際問題的能力，這就迫使教師要查閱大量的資料，整理出適用的案例，不斷學(xué)習(xí)新知識，了解新技術(shù)，進(jìn)而提高教學(xué)和科研能力.

下面我們介紹一些在線性代數(shù)教學(xué)中融入了數(shù)學(xué)模型思想的實(shí)例.

1.投入產(chǎn)出問題

設(shè)有n個部門，記一定時期內(nèi)第i部門的總產(chǎn)出為xi，對第j部門的投入為xij，外部需求為di，則

xi=∑ n j=1 xij+di（i=1，2，…，n）. （1）

記直接消耗系數(shù)為aij，它表示第j部門的單位產(chǎn)出中對i部門的直接消耗，

aij=xij/xj，（i，j=1，2，…，n）.

記直接消耗系數(shù)矩陣A=（aij）n×n，產(chǎn)出向量 x =（x1，x2，…，xn）T，需求向量 d =（d1，d2，…，dn）T，則（1）式可寫為 x =A x + d .

若I-A可逆，則 x =（I-A）-1 d .

這是對矩陣乘法及其逆的應(yīng)用.

2.公司采購問題

某公司計劃用Y元錢采購物品A，B，C，D，設(shè)每種物品單價分別為a1，a2，a3，a4元.他一共要買的數(shù)量為W個，請給該公司計劃一下能買到多少個物品A，B，C，D？

模型假設(shè)：公司購買的物品數(shù)量很大，數(shù)量的個數(shù)可視為連續(xù)變量.

模型建立：設(shè)該公司購買的物品A，B，C，D的數(shù)量分別為x1，x2，x3，x4個，則有方程組

a1x1+a2x2+a3x3+a4x4=Y，x1+x2+x3+x4=W.

由于此方程組未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)，因此該方程組有無窮多解.設(shè)Y=100，W=50，a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，則可得方程組的解為

x1=-c1+c2，x2=c1，x3=50-2c2，x4=c2.

其中c1，c2為任意使得x1，x2，x3，x4為正整數(shù)的常數(shù).

這是對線性方程組的應(yīng)用.

除了我們前面所介紹的兩類模型，線性代數(shù)在很多其他數(shù)學(xué)模型中都有重要的應(yīng)用.將數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)的線性代數(shù)教學(xué)過程中，不僅是為了使學(xué)生有興趣學(xué)習(xí)線性代數(shù)的知識，更是為了培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.如何將數(shù)學(xué)建模思想更好地融入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是我們大學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該認(rèn)真思考的問題之一.

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