近世代數(shù)教學中創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

昝立博

【摘要】 近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)，是高等代數(shù)課程的繼續(xù)和發(fā)展.近世代數(shù)同拓撲學、實變函數(shù)與泛函分析構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學的三大基石，是進入數(shù)學王國的必由之路，是數(shù)學專業(yè)學生必修的重要基礎(chǔ)課.近世代數(shù)課程通過對學生抽象思維、邏輯思維及運算能力的培養(yǎng)，使學生掌握基本的代數(shù)方法.本文闡述了近世代數(shù)教學中開展研究性學習的幾點思考，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，提高學生自主學習和終身學習的能力.

【關(guān)鍵詞】 近世代數(shù)；創(chuàng)新能力； 創(chuàng)造性思維

【中圖分類號】 G420

學生在學習近世代數(shù)中，感受最深的就是抽象，這就要求教師在教授學生本課程的知識系統(tǒng)時注重與具體應(yīng)用的結(jié)合，還應(yīng)進一步發(fā)揮近世代數(shù)這門課程訓(xùn)練思維的獨特優(yōu)勢，積極開展研究性學習，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，逐步提高學生自主學習和終身學習的能力.

一、加強課程內(nèi)容的應(yīng)用性

近世代數(shù)的生命力在于其深刻的理論和廣泛的應(yīng)用.作為一本理科的教材，如果從教學目的來看，重點強調(diào)它的理論性是必要的，只有學習并深刻領(lǐng)會一門學科的思想方法才是提高能力的根本之路.但是，當前最薄弱之處卻是根本不講應(yīng)用.在講授一些比較抽象的純數(shù)學課如“近世代數(shù)”時，經(jīng)常會有學生問：“近世代數(shù)有什么用？”有時候教師也回答不清，不免使學生感到失望，大大打擊了學生的學習興趣.隨著現(xiàn)代科技的不斷進步，特別是電子計算機的飛速發(fā)展與推廣，近世代數(shù)的基本思想、基本理論與方法已經(jīng)滲透到科學領(lǐng)域的各個方面與實際應(yīng)用的各個部門.事實上，20 世紀初群論已經(jīng)應(yīng)用于理論物理和分子化學，而到20 世紀中葉，理想理論和域論在計算理論、編碼、信息安全等領(lǐng)域更是大顯身手.在課本內(nèi)容中適當?shù)亟榻B近世代數(shù)的應(yīng)用，一方面可讓學生看到該理論的巨大應(yīng)用價值，另一方面也可大大調(diào)動學生的學習興趣.

二、要注重與其他課程內(nèi)容的聯(lián)系

對于近世代數(shù)中大多數(shù)的概念、定理，教師應(yīng)盡量從具體的例子或它們的重要作用來引入，使學生容易把握和理解，并能較快掌握學習近世代數(shù)的方法，更好地開展研究性學習.比如，群和環(huán)的概念，實際上都是滿足一定運算規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)，正如數(shù)系滿足它們的運算規(guī)律一樣，因此從數(shù)系引入群、環(huán)的概念是比較自然的.又比如，在引進正規(guī)子群、理想等概念時，教師從它們的作用出發(fā)，向?qū)W生介紹為了構(gòu)造一類新的群或環(huán)，子群和子環(huán)必須滿足什么條件，由此導(dǎo)出正規(guī)子群和理想的概念.我們知道，如果兩群同構(gòu)，那么只要將其中一個群研究清楚了，另一個與它同構(gòu)的群也清楚了.因此，同構(gòu)在近世代數(shù)中是一個很重要的概念.其實許多同構(gòu)映射就是依賴于初等數(shù)學中有關(guān)知識建立的.比如，實數(shù)加群與正實數(shù)乘法群同構(gòu)，利用指數(shù)函數(shù)建立了從實數(shù)到正實數(shù)的映射，指數(shù)的運算法則“ 同底冪相乘指數(shù)相加” 使這個雙射成為同構(gòu)雙射.這樣使得學生在學習時，既熟悉了這種數(shù)學研究的思路，又較輕松地接受了新的數(shù)學知識.另外，教師還應(yīng)加強近世代數(shù)和高等代數(shù)的聯(lián)系，充分利用學生已有的代數(shù)知識，去建構(gòu)近世代數(shù)中的概念和性質(zhì).比如，教師在講環(huán)論的時候，用矩陣的一些性質(zhì)去引入和說明環(huán)中元素的各種性質(zhì)（如單位元、交換性、零因子、可逆性等等），會收到較好的效果.

三、教學中要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

近世代數(shù)這門學科具有高度抽象、起點高、難度大的特點，由于無論是概念還是性質(zhì)及其論證過程都較為抽象，對于初學者來說往往難以理解和掌握，更談不上有主動性思考了，因此教師在教學中更需要注重加強創(chuàng)新思維的引導(dǎo).

1.鼓勵學生敢于對已有的論斷和結(jié)果大膽地提出疑問并進行合理的猜測.比如，很多命題的結(jié)論與條件并不等價，從數(shù)學命題的完美性來說，可以向?qū)W生提出：能否將命題提升為一個“充分且必要”的命題？命題的逆命題是什么？是否成立？如果不成立，能否舉一個合適的反例？盡管學生不一定能作出令人滿意的答案，但起到了引導(dǎo)學生進行積極而有意義的思維活動是毋庸置疑的.

2.培養(yǎng)學生具有追根究底的勇氣和毅力.對于某些感興趣的問題，經(jīng)過大量的推導(dǎo)、計算、驗證，終于得到了滿意的結(jié)果，對心中的疑問和猜測作出正確解決的思想并付諸于行動，堅忍不拔，決不半途而廢，最終達到成功的彼岸.這種不屈不撓的精神是取得成功的必要品質(zhì).

3.培養(yǎng)學生的開拓性思維和深入研究問題的能力.對一個問題，甚至是一個看起來非常明顯而簡單的問題，做到從不同角度加以分析和廣泛聯(lián)想，能起到開拓思維和培養(yǎng)嚴密的思維方式和思維能力的重要作用.鼓勵學生對問題進行深層次的探索性研究和激發(fā)學生的創(chuàng)新欲望，有利于學生掌握科學的思維方法和提高數(shù)學的研究能力.

在近世代數(shù)教學中開展研究性學習，使學生獲得探求知識的主動權(quán)，讓他們進入研究探索問題的全過程，從而使學生處于主動探索的精神狀態(tài)，加之學生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)和提高，對其將來從事數(shù)學教學工作或其他工作都將終身受益.

總之，不論是在近世代數(shù)還是其他學科中，我們均應(yīng)注重對學生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，只要我們注意教學改革，切實在學生的創(chuàng)造性思維能力提高上面作出一定的奉獻，這將對學生走向社會，不論從事什么工作，均有很好的推動作用.

【參考文獻】

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