正確發揮圖形直觀在數學教學中的作用

黃亞麗 徐恒祥

孔凡哲教授認為：“在中小學數學中，幾何直觀具體表現形式有四種，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀。在小學數學中，常見常用的圖形直觀有線段圖、方形圖、模型圖、集合圖、關系圖、示意圖、替代圖等?！盵1]圖形直觀對學生學習數學、分析和解決問題、發展能力等發揮著十分重要的作用。那么，如何正確發揮圖形直觀在小學數學教學中的作用呢？對此，筆者談一孔之見，求教同仁。

一、 “用圖”導學，為學習數學提供幫助

數學知識的抽象性、復雜性和特殊性，是造成一些學生難理解、難接受、難內化的原因之一。利用圖形直觀幫助學生學習數學，可以把某些知識化難為易、化抽象為具體，使學生恍然大悟、豁然貫通，更能讓學生深切體會到圖形直觀在數學學習中的重要作用，從而啟迪學生自覺地借助直觀的幾何圖形學習數學、看待問題。

1.在“有形”中理解數學

“數”和“形”是數學中最基本的兩個概念，很多數學內容、概念既具有“數的特征”又具有“形的特征”。只有將“數”“形”密切結合起來（即借助直觀的幾何圖形引導學生學習數學知識），才能更好地幫助學生掌握數學內容、概念之本質。例如，人教版小學數學四年級下冊“除法的性質”中的例題：王老師買了5副羽毛球拍，花了330元。每支羽毛球拍多少錢？教材呈現了兩種解法：①330÷5÷2，學生不難理解其意，先算每副羽毛球拍多少錢，再算每支球拍多少錢；②330÷（5×2），學生亦不難理解，先算一共有多少支羽毛球拍，再算每支球拍多少錢。但是，教材回避了第三種解法：330÷2÷5。的確，330÷2要聯系實際作出解釋比較困難，但如果有學生提出這種解法，教師該如何幫助學生理解算式的意義呢？解決這一問題，就需要借助圖形直觀。教師可先畫圖1，引導學生理解330÷5表示每副羽毛球拍多少錢；再畫圖2與之比較，學生則能直觀地看出330÷2表示：5副羽毛球拍各1支花了多少錢，即5支球拍多少錢。借助圖形直觀，學生就不難理解第三種解法的意義。

再看“平面幾何圖形的面積”，就建立“長方形的面積”的表象而言，學生不難直觀地從方格圖中看出：長方形的面積是單位長度與單位寬度之積，即S=ab。同樣的道理，學生也可以從“剪拼”中得知：三角形的面積是等底等高平行四邊形面積的一半，即S=ah÷2。但是，怎樣幫助學生建立“圓的面積”的概念表象？教師可以以圓的半徑為邊長畫一個正方形（圖3），讓學生直觀地看出：r2與圓面積的大小關系；再畫圖4，讓學生比較2r2與圓面積的大小關系；最后畫圖5，讓學生比較“4r2與圓面積的大小關系。從這種直觀中有邏輯、邏輯中有直觀的比較中，學生不難理解、想象2r2<圓的面積<4r2，為進一步把圓剪拼成近似的長方形、平行四邊形、三角形等，推導圓的面積公式S=πr2架設腳手架。

2.在“無形”中想象數學

圖形直觀在數學教學中發揮著重要作用，但是并非所有的數學知識都可以用直觀的圖像呈現其“全貌”?；诖?，教師要善于用“有形”的語言彌補“無形”的圖像之局限。如學習“線段、射線、直線”時，教師可以在黑板上畫出一定長度的線段。然而，無限長的直線、射線的圖像卻受制于有限的黑板平面，無法做到“無限”延長。對此，教師可以用形象的語言加以描述，以彌補“局部”圖像之不足：“把線段的一端無限延長，線段的一端會超出我們的黑板平面，會跑出我們的教室，會穿過樓房、大山……我們找不到它的盡頭，看不到它的端點，這樣延長，線段就變成了射線。同樣的道理，把線段的兩端無限延長，線段的兩端也都會超出黑板、跑出教室、穿過樓房……我們也找不到它們的盡頭，這樣延長，線段就變成了直線”[2]。

有形或無形的幾何圖形存在于人們的思想意識之中，在數學教學中，也只有教師適時、有度地呈現其“形”，才能更好地幫助學生學習數學，發展其幾何直觀意識和能力。

二、 “畫圖”分析，為培養能力提供支持

畫圖能力是幾何直觀能力之一。對此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》認為：一方面，要在教學中幫助學生逐步養成畫圖習慣；另一方面，要讓學生掌握、運用一些基本圖形解決問題。但在教學實踐中學畫圖，運用圖形描述問題、分析問題和解決問題的情況并不直觀。學生畫圖、運用圖形的自覺性與習慣亟待培養。如何培養呢？

1.著眼于單元學習，指導學生“畫圖”

現行小學數學教材，均以單元為單位編排數學課程內容。在各個單元的學習中，教師應有的放矢地培養學生的畫圖技能和運用圖形的習慣。如長（正）方體圖形的“拼切”問題（人教版小學數學五年級下冊）：①三個棱長3厘米的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是多少平方厘米？②三個完全一樣的正方體拼成一個長方體后表面積是126平方厘米，每個正方體的表面積是多少平方厘米？有的學生簡單地認為這是幾個立體圖形的加減，這種方向性的錯誤，導致作業時頻頻出現錯誤。第①題，常見的錯誤解法是“3×3×6×3”。此題，一旦教師以直觀圖形（圖6）的形式呈現出來，學生的解題錯誤率便明顯下降。同樣，解決第②題，教師指導學生畫圖（圖7）分析，能在一定程度上避免126÷3這樣的錯誤解法出現。本單元指導學生運用圖形分析問題、解決問題，將直接影響后續學習和解決有關“圓柱與圓錐”（人教版小學數學六年級下冊）的問題。再如，解決“分數乘、除法”問題時，教師可指導學生根據問題情境，找準單位“1”，畫線段圖分析“量”“率”對應關系，尋找解決問題策略。那么，后續遇到解決“百分數乘、除法”問題時，就會自然而然地喚醒學生借助線段圖幫助分析問題、解決問題的經驗與意識。因此，小學數學學習，教師應根據教材特點與學生實際，有意識地指導學生掌握一些基本的畫圖技能，使之形成運用圖形的習慣，以強化其幾何直觀意識與能力，為其學好數學提供幫助，為其解決數學問題提供支持。

2.著手于平時作業，誘導學生“畫圖”

人的某種意識或習慣并非與生俱來，學生形成畫圖、運用圖形分析問題與解決問題的意識亦如此。基于這一認識，教師應有意識地口頭或書面提醒學生自覺地“畫圖”分析問題，使之養成習慣。如以下這兩道題：①一個長35米，寬24米的長方形果園。如果每棵果樹占地3平方米，這個果園一共可以栽多少棵果樹？②用一張長9厘米，寬6厘米的長方形紙剪圓片，圓片的半徑是1.5厘米，可以剪多少個？此二題，“形似而神不似”。一些學生解決第②題的思路，常常受到第①題的影響，誤以為本題解決的是“長方形面積中含有幾個圓面積”，因此出現錯誤的做法：（9×6）÷（3.14×1.52）≈8（個）；如果教師提示并引導學生畫圖幫助分析，則不難得知解決這個問題要看“長方形的長含有幾個圓的直徑，寬含有幾個圓的直徑”，所剪的圓片數量為“[（9÷（1.5×2）]×[6÷（1.5×2）]=6（個）”。諸如此類，還有“圓周長的一半”與“半圓的周長”、“增加了”與“增加到”、“減少了”與“減少到”等似是而非的概念問題，教師要有足夠的預見性，有意識地提醒學生運用圖形，使之深切體會到圖形直觀的作用與價值。

圖形直觀是學生學習數學、解決問題的“拐杖”。在數學教學中只有教師根據教材特點與學生實際有效地示范導學，才能為學生更好地學習數學提供保障，只有教師正確引導學生自覺地運用，才能為培養學生的幾何直觀意識與能力提供可能。

參考文獻

[1] 李玲玲.試談“圖形直觀”的表現形式及教學策略[J].教學與管理，2013（23）.

[2] 徐恒祥.“擦掉端點”不妥——由“線段、射線、直線之間的關系”案例引發的隨想[J].中小學數學：小學版，2015（1-2）.

【責任編輯：陳國慶】