重積分計算的微課設計

李紅 陸垚

摘 要：本文針對重積分計算的微課設計作了初步的探討。

關鍵詞：微課程；二重積分；三重積分；計算；設計

重積分是高等數學課程的核心內容之一，重積分的計算一直是學生學習的難點。多年的教學經驗告訴我們有必要將重積分計算構成知識模塊做成微課程，通過學生線上自學和線下教師針對性的講解加深學生對重積分計算方法的理解，使其熟練掌握重積分的基本計算方法和技巧，提高其解題的準確率，達到提高教學質量、培養創新型人才的目的。下面就是我們具體的做法。

首先，教師在制作微課程之前應該對這部分內容做一個系統地設計，我們將重積分的計算放到一起稱之為一個模塊，這個模塊中包含了二重積分、三重積分的計算、重積分的應用和計算技巧四個知識單元，將每個單元根據需要劃分為若干個知識點，再將每個知識點細分為若干小的知識部分并附有每個部分的呈現方式、方法，給微課制作者提供一個可行的整體方案，如圖1。

其次，教師團隊按照之前制定的整體方案分工合作，將我們錄制好的視頻、圖片以及講義、試卷、題庫等分類到不同知識點，以不同形式上傳到學校的網絡教學平臺，分享給學生使用。下面就以二重積分的直角坐標系下的計算這一知識點的設計來說明我們具體的做法。

為了讓學生更好地理解、掌握二重積分直角坐標系下的計算方法和技巧，首先要介紹曲頂柱體的計算方法，通過曲頂柱體體積的計算得到相應積分區域上二重積分的計算方法，直接影響到學生對于直角坐標系下二重積分向二次積分的轉化，進一步影響二重積分的計算的正確與錯誤；且這種根據區域類型轉化重積分為累次積分的方法對于極坐標系下二重積分的計算、三重積分的各個坐標系下的計算以及其他曲線、曲面積分的轉化都會有深刻的影響，要達到學生印象深刻、理解透徹的效果，因此這部分必須以微視頻的形式呈現。

其次，將直角坐標系下二重積分的計算劃分為積分區域的認識、轉化為二次積分、重積分計算的實現、二重積分的計算技巧、相關習題與自測題五個知識部分。由曲頂柱體體積的推導可知積分區域是我們將二重積分轉化為二次積分的依據，積分區域的不同類型直接決定著二次積分的形式，因此對于積分區域的認知部分是二重積分能否成功并簡捷計算的關鍵部分，必須要求學生牢固掌握。為達到效果可以通過有聲圖片或有聲的PPT教案或微視頻形式形象地呈現；學生有定積分計算的基礎，二重積分計算的最后實現只需要告訴學生先算后邊的積分并將積分結果作為前邊積分的被積函數，然后算前邊的積分這樣的計算程序，他們就可以很好地得到積分結果，不需要過多的講解，可以通過PPT講義形式呈現；經驗告訴我們對稱性原理對于學生來說是學習的難點，好多學生不能很好的理解、運用對稱性原理。為便于學生理解，定理的引入和相關定理的證明由PPT教案的形式呈現，為使學生掌握并熟練運用對稱性原理，對應習題的講解可通過微視頻或有聲圖片的形式呈現；相關習題與自測題可以通過試卷、題庫等形式呈現；通過學習要求學生完成線上作業，并告知學生此次作業成績占單元成績的百分比，使其知道自己平時成績的多少，促進其努力學習。

最后，教師搜集線上學生作業中出現的典型問題，通過線下課堂教學加以講解，糾正作業中各種錯誤，總結二重積分的基本計算方法。通過學生線上的自主學習以及教師線下的糾錯、總結，學生可以對二重積分的計算有正確的認識和理解，達到基本掌握其計算方法的要求，并且這種掌握是理解基礎上的掌握。只要學生通過做足夠的習題鞏固，就能達到熟練掌握并靈活運用的程度，為學生后續學習專業課、考研以及解決實際問題做好鋪墊和準備，真正達到大學數學課程的教學目的。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學第七版.高等教育出版社.

[2] 劉群，李紅.高等數學解題指導.東北大學出版社.