用反正法證題的幾種情形

反證法是從否定要證命題的結論出發，進行合理的推導，得出矛盾，從而肯定命題結論成立，完成命題論證的方法。本文重點介紹適用反證法的幾種命題形式。

一、結論為否定形式的命題

例1：證明y=cos不是周期函數。

證明：若y=cos是周期函數，那么應存在一個非零常數T，使cos=cos……①

設x=0，得cos=cos0=1。

所以存在自然數k1，使=2k1π，T=4k12π2。

其次，在①中令x=4π2，得cos=cos2π=1。

所以又存在自然數k2，使=2k2π，于是=k2， 但k12<1+k12<（k1+1）2 ， 所以不是自然數，即k2不是自然數，得到矛盾。因此假設不成立，即y=cos不是周期函數。

二、結論以“至少”、“至多”、“任一”、“唯一”、“無一”、“全部”等形式出現的命題

例2：試證：方程x=sinx+c（其中c是常數）的解是唯一的。

證明：顯然，直線y=x-c與正弦曲線y=sinx必有交點，故方程必有解。如果方程的解不是唯一的，即至少有兩個解x1、x2 （x1≠x2）。代入方程相減，得

x1-x2=sinx1-sinx2=2cossin

但sin<， ∴x1-x2<2cos·。

得cos>1， 與cos≤1矛盾。

因此，方程x=sinx+c的解是唯一的。

三、結論以“無限”的形式出現或涉及“無限”性質的命題

例3：試證a+b（其中a、b是有理數，b ≠0）是無理數。

證明：假設a+b是有理數，設a+b=p（p為有理數），由上式得=。

因a、b、p都是有理數，由有理數的四則運算的封閉性知，（b ≠0）是有理數， 不妨設=（r、s是互質整數，且s≠0），則=，3s2=r2。左邊為3的倍數，因此右邊r也必有因數3，設r=3q，代入得s2 =3q2。

同理推出s有因數3，于是r、s有公約數3，這與上面關于r、s是互質整數的假設矛盾，證得a+b為無理數。

四、關于存在性的命題

例4：設f（x），g（x）是[0，1]上的實值函數，證明存在x0，y0∈[0，1]，使得x0y0-f（x0）-g（y0）≥……………①

證明：反設這樣的x0，y0不存在，則對一切x，y∈[0，1]均有xy-f（x）-g（y）<……………②

取數對（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）代入②，得f（0）+g（0）<，f（0）+g（1）<，f（1）+g（0）<，1-f（1）-g（1）<。

從而

1=[1-f（1）-g（1）]+[f（1）+g（0）]+[f（0）+g（1）]-[f（0）+g（0）]………③

≤[1-f（1）-g（1）]+[f（1）+g（0）]+[f（0）+g（1）]+[f（0）+g（0）]

<+++=1。

這一矛盾表明，存在x0，y0∈[0，1]使得①成立。

五、已知成立命題的逆命題

如果原命題與其逆命題都正確時，其逆命題的正確性往往可以用反證法證明。

例5：已知四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點，且EF=（AB+CD）。求證：AB∥CD。

證明：假設AB與CD不平行（如圖1），取AC中點M，連ME，MF，則在△ACD與△ACB中，按中位線定理得MECD，MFAB。

由于AB與CD不平行，故ME與MF不共線，構成△MEF， 有ME+MF>EF。即CD+AB>EF。這與已知條件（AB+CD）=EF矛盾。從而證得AB∥CD。

本題若不從反證法著手，則證明比較困難。

六、已知條件少或從已知出發所能推出結論甚少的命題

例6：設a、b、c，m、n、p均為實數，且滿足ap-2bn+cm=0和b2-ac<0，求證：mp-n2≤0。

證明： 假設mp-n2>0，則mp>n2。由b2-ac<0，得b2b2∴acmp>n2 b2。①

又由ap-2bn+cm=0得bn=（ap+cm）②

把②代入①并化簡，得（ap-cm）2<0 ，

產生矛盾，故命題為真。