函數思想在解題中的應用

黃炎哲

摘 要 在整個高中數學的學習中不難發現：函數思想始終貫穿于整個教學活動，并將高中數學的各個部分緊密聯系在一起，促使高中數學整個知識框架形成系統性。在學習高中數學的過程中，掌握函數思想可以提高解題效率，從而在較短的時間內獲得較好的學習效果。對高三階段的學習而言，掌握函數思想并應用于解題中具有重要的意義。

關鍵詞 函數思想 解題 應用

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.02.059

Abstract In the study throughout high school math is not difficult to find： the function always thought throughout the teaching and learning activities， and portions of the high school mathematics is closely linked to the entire high school mathematics knowledge to promote the formation of a systematic framework. In the process of studying high school mathematics， problem solving master function can improve the efficiency of thought， resulting in better learning results in a short period of time. For the third year phase of the study， the master function is significant ideological and applied to solving problems.

Key words function thinking； solving problems； application

在高中數學學習的過程中，函數思想主要體現在函數的概念、性質以及典型的常用函數方面，解題的時候可以根據其性質來求值。函數性質主要包括單調性、奇偶性、連續性、周期性等，函數的圖像會隨著自變量取值的變化而發生改變。從最近幾年的高考試題中可以看到，以函數為中心編制的綜合性題目具有明顯的新穎性。因此，在高中數學復習的過程中，應加強對這方面的總結和提煉，基于函數概念，掌握函數的基本屬性與性質。掌握了函數思想后，對于函數內容的解題，處理起來更具實用性。

1 函數思想在解題中的應用

1.1 以函數為載體，實現函數與方程、不等式之間的相互轉化

在解題的時候我們不難發現：方程與不等式之間存在著內在的聯系，常常需要定義域，也就是不等式組的解題，而函數單調性的求解過程即是對題目中不等式組的證明過程。①此外，方程、不等式內容需要在函數思想的指導下才能進行有效解題。例如：對于不等式<0就是求函數的正負區間。解題時，應該充分利用函數思想，將其作為解題突破點，并學會聯系交叉方程、不等式等和函數知識，以提高解題效率。

例 1 假設二次函數 = + + （>0），方程（）的兩根，需要同時滿足0<<<1/。（1）如果函數圖象是關于 = 對稱，證明<1/2；（2）當（0，）時，證明<<。

證明：（1） = （）（），在（0，）時，由于<，有（）（）>0，又>0，所以，>0，即<，又 = = +[] = + （）=（）（）[1 + （）]，由于0<<<1/，所以，>0，1+（）=1+>0，所以，>0，<。

（2）依題意可知 = /（），其中，是方程 = 0的根，即，是+（） + = 0的根，所以+=（）/ = /2 = [（+）1]/2=（+1）/2，因為<1，所以，2 = /2。

1.2 以函數為載體，促進函數與角的轉化

對于高三數學中函數內容的學習，其主要目的是讓學生掌握函數值和角的變化之間的相互聯系，角與三角函數存在相互依存的關系，針對這一點就可以展開研究。

例2 已知大于0，且不是1，要使方程（） = （）有解，則的取值范圍是多少。

分析：將原方程中的等式轉化為混合不等式是這道題的常規解法，同時根據不等式組有解這一條件，對值進行分類討論，從而求得值的范圍。這種方式解題方便，但容易漏掉對K值的展開討論，使答案不完整。利用函數思想，則會使解題等輕松順利。

解：原方程等價于2（）=（）等價于不等式組[（）2 = ，>0，等價于 = （/）。

因為∣∣>∣∣，令 = ，∈（ /2，0）∪（0， /2），則 = ∣∣。當 /2<<0時， = （1/）+（/）=（/2），等價于<1的時， = （1/）+（/） =（/2），等價于0<<1。這一解法就是利用函數轉換思想，將轉換為的函數，同時方程有解這一條件轉化為求函數的值域問題，使值的范圍一目了然。

1.3 以函數思想為載體，在數列中體現出函數思想

實際上，在解數列題目的時候，可以將數列作為定義域是N或者其某個子集，自變量的取值則對應相應的函數取值。可見，應用函數常用方法和技巧對解數列類的題目具有一定的指導作用。

例3 設等差數列{}的前幾項和為，已知=12，>0，<0。

（1）求公差的取值范圍。（2）指出，，中哪一個最大并說明理由。

面對這道題，可先分析題目的原理，繼而解出題目。

解 ：（1）依題意可以求出24/7<<3

（2）因為，=122， =（122）+[（1）]/2=/2+（125/2）。因此，二次函數的對稱軸方程式應當是=（125/2）/2/2=5/212/。因為，24/7<<3，6<5/21/2<6.5，又的圖象為開口向下的拋物線當且僅當=6時值最大，即最大。

分析：首項公差是的等差數列，= +[（1）]/2，也就是=/2+（/2），可見是一個的二次函數。對于等差數列前項和的最大取值的求解，可以利用二次函數的性質為解題突破口。采用這種解題方法可以在對稱軸為自然數的時候，取時為最大值。

1.4 利用函數思想，考察抽象函數問題

是一個相對來說較抽象的符號，而函數的抽象問題可以利用函數圖像來具體化。將函數的不同性質與圖形變化特點相融合，會隱去解析式這一函數要素，從而使得求解難度加大。在實際解題過程中，利用背景函數將函數解析式充分轉化為圖像，將抽象的問題具體化，從而達到快速解題的目的。

例4 假設是定義在R上的偶函數，其圖像是關于直線 =1對稱，對任意的，屬于[0，1/2]，這時候都會有 （+）= （）？（）。（1）假設 （1）=2，求 （1/2）， （1/4）。（2）證明：是周期函數。

解：（1）由于 （+）= （）？（）， ，屬于[0，1]

知 = （/2）？（/2）=[ （/2）]2不小于0，[0，1]

因為， （1）= （1/2+1/2）= （1/2）？（1/2）=[ （1/2）]2，又 （1）= 2，所以[ （1/2）]2=2，所以 （1/2）=21/2，因為 （1/2）= （1/4+1/4）= （1/4）？（1/4）=[ （1/4）]2，而 （1/2）=21/2，所以， （1/4）=21/4。

（2）依題意可以了解到， = 是關于直線 = 1對稱的，因此，= 屬于，由于屬于偶函數，就可以了解到=，屬于。因而，可以將直接帶入到來替換，即：函數屬于周期函數。

點評：根據教材中的指數函數可以了解到，要想求得函數的值域，賦值可以采取遞推方法，事實上，這就是將抽象轉化為具體的最好方法。在解題的時候要確定函數的周期問題，就需要根據函數的性質，將抽象問題利用函數式來轉化為具體的內容，隨后就可以根據周期函數的定義來判斷推理，這也就是對函數性質的研究。

2 函數思想的具體理論研究

實際上，函數思想就是在數學題目解題的過程中所體現出來的一種思維策略。即：利用函數可以描繪自然界中不同事物之間的聯系與內在關系。數學中的函數思想就是根據這一規律，將不同的問題轉化為函數，通過函數模型的建立來輕松解決。就函數的思想理論來看，其體現出來的就是“聯系與變化”的辯證唯物主義思想。解題時函數思想的體現首先是構造函數（即“規定思想”），隨后就可以利用函數的性質（已知+未知+規定思想）來解題。其中，函數的單調性、周期性、奇偶性、最大值和最小值以及圖像變換等都是利用函數思想解題時常用的性質。因此，高三學生應該熟練掌握一次函數、二次函數、指數函數、冪函數以及三角函數的不同性質和特點。利用函數思想解題時要注意發現題目中的隱含條件，提煉出函數解析式，并結合函數的性質來求解。只有對所給的問題分析、判斷比較深入和全面時，才能產生由此及彼的聯系，從而構造出函數原型。我們在解題的時候運用這種思想，就會發現不同題目所具有的共同性，即定量與變量之間的關系。在經過系統的分析總結和歸納后，就能使用相對簡潔的公式來描述函數的性質，即：已知+未知+規定思想。②

3 結語

總之，函數思想是高中數學中重要的數學思想，有助于培養學生的創造性思維。平時在解題的時候需要善于挖掘函數的思想方法，認真地體會，從而提高自身的推理能力與論證能力。

注釋

① 王志勇.代數“圖化”教學法：一種值得重視的數學教學方法[J].當代教育理論與實踐，2014.16（06）：658-659.

② 慕澤剛.用函數思想解證不等式問題[J].數學大世界（高中生數學輔導版），2012.14（11）：432.