生活化教學理念下關于函數(shù)的連續(xù)性的教學設想

王繼禹　賈秀玲

[摘要]高等數(shù)學的教學方法改革是高校教師一直思考的一個熱點問題。把抽象的數(shù)學知識生活化，回歸數(shù)學知識的生活形態(tài)是教學實踐的方向。沿著此方向，本文構造了關于函數(shù)連續(xù)性概念的教學設想，通過生活實際應用達到引發(fā)學生的學習興趣，幫助學生理解抽象的數(shù)學知識，從函數(shù)連續(xù)性的概念得到生活啟示。

[關鍵詞]函數(shù)；連續(xù)性；生活化

[基金項目]河南省教育廳重點科研項目（15A110027）

前 言

現(xiàn)如今《高等數(shù)學》已經(jīng)成為各個大學幾乎各個專業(yè)的公共必修課。高等數(shù)學與初等數(shù)學的差別除研究的問題有顯著差異外（初等數(shù)學主要研究具體、靜態(tài)和有限的問題，高等數(shù)學主要研究抽象、動態(tài)和無限問題），最大的差異就是高等數(shù)學的基本概念要比初等數(shù)學的概念艱深的多。對于非數(shù)學專業(yè)的學生，對數(shù)學的學習總懷著一種畏懼感。特別是一些三本或高職高專的學生，本身基礎差，即使使盡渾身解數(shù)還是力不從心；另外傳統(tǒng)的高等數(shù)學課堂教學解題模式，大都是教師一言堂，學生和教師在教學中遭遇的知識是固化的真理，缺乏“人氣”的知識，一堆“死”的符號型的結論，枯燥抽象的數(shù)學知識降低了三本及高職高專學生的上課積極性。所以對高等數(shù)學教學方法的探討和改革勢在必行，很多前輩泰斗一直都在致力于數(shù)學教育及教育數(shù)學的研究，試圖找到《直來直去的微積分》教學，當然這會是一個偉大而又漫長的過程。但是對于當前，至少可以覺察到生活化教學是實施數(shù)學教育的一個很好的途徑。

本文就本著生活化教學理念，來談談函數(shù)連續(xù)性的概念教學過程。把抽象的數(shù)學知識與生活實際聯(lián)系起來，讓學生看到所學知識的有用性，從而達到提高學生的學習興趣，并幫助學生理解、接受并應用抽象的數(shù)學知識

1。問題設計

19世紀末美國康奈爾大學科學家做過一個著名的“水煮青蛙”實驗。科研人員將青蛙投入40攝氏度的水中時，青蛙因受不了突如其來的高溫刺激立即奮力從開水中跳出來得以成功逃生；當科研人員把青蛙先放入裝著冷水的容器中，然后再緩慢加熱（每分鐘上升0。2攝氏度），結果就不一樣了，青蛙反倒因為開始時水溫的舒適而在水中悠然自得，而當青蛙發(fā)現(xiàn)無法忍受高溫時，已經(jīng)心有余而力不足了，不知不覺被煮死在熱水中。

青蛙之死的故事引發(fā)很多人的討論，可謂是“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，每個觀點和結論都各有千秋，也各有道理。但從高等數(shù)學知識的角度來看可以用函數(shù)的連續(xù)性概念來解釋青蛙之死的原因。

2。概念教學

函數(shù)是連續(xù)的，這到底意味著什么呢？直覺告訴你我們可以一筆畫出連續(xù)函數(shù)的圖像來的。 對于像y=x2這樣的函數(shù)是很容易一筆畫出來的。但是對于像y=1x這樣的函數(shù)，它的函數(shù)被y軸分成了兩部分，所以整體來說它是不連續(xù)的。但事實上除了在x=0外，y=1x處處連續(xù)。因此，我們必須理解在一點處連續(xù)是什么意思。然后，再考慮在像區(qū)間一樣更大的區(qū)域上的連續(xù)性。

定義1 設函數(shù)f（x）在點x0的某鄰域內(nèi)有定義。

如果

lim[]x→x0f（x）=f（x0）（1）

則稱函數(shù)f（x）在點x0連續(xù)，并稱x0為函數(shù)f（x）的一個連續(xù)點。

以上是函數(shù)f（x）在某點x0處的點連續(xù)定義，由定義可得如下結論：若limx→x0f（x）=f（x0），則函數(shù)f在點x0處連續(xù)。

但必須要明確的是極限等式要成立，必須有以下三條同時成立：

（1）函數(shù)f（x）在x0處有定義；即f（x0）存在（并且是有限的）；

（2）左右極限都存在且相等；即f（x0-0）=f（x0+0）；

（3）極限值等于函數(shù)值；即limx→x0f（x）=f（x0）。

綜上可知，要判定函數(shù)f（x）在點x0連續(xù)與否，需求三個值：

f（x0-0）；f（x0+0）；f（x0）。

若三個值存在相等則函數(shù)在此點連續(xù)，否則不連續(xù)

現(xiàn)在對以上定義進行如下分析：

若limx→x0f（x）=f（x0）。

則可得到式（1）等價于

limx→x0f（x）-f（x0）=0。（2）

若令Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0），

則可得到：

limx→x0f（x）=f（x0）limΔx→0Δy=0。

事實上，limΔx→0Δy=0是函數(shù)點連續(xù)的另一種定義形式，它更直接的說明了函數(shù)連續(xù)性的實質：即自變量的微小變化僅僅引起因變量的微小變化。

由函數(shù)的點連續(xù)我們可以給出函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性的定義。

定義2 如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)。

對于形如[a，b]的區(qū)間又如何呢？

定義3 （1）若f（x）在點x0的某左鄰域內(nèi)有定義，且f（x0-0）=f（x0），則稱函數(shù)f（x）在點x0左連續(xù)；若f（x）在點x0的某右鄰域內(nèi)有定義，且f（x0+0）=f（x0），則稱函數(shù)f（x）在點x0右連續(xù)。

（2）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有定義，開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在點a右連續(xù)、在點b左連續(xù)則稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)。

顯然，

函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)f（x）在點x0既左連續(xù)又右連續(xù)。

從幾何直觀上，連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。

另外從定義的等價形式上也可以看到：若函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，則區(qū)間上每一點處自變量的微小變化都僅引起因變量f（x）的微小變化，這就是函數(shù)連續(xù)性的實質。

許多常見的函數(shù)都是連續(xù)的，如六種基本初等函數(shù)等。可函數(shù)描述的是變量間的關系，是對實際問題中的變量關系的抽象。于是可以看到現(xiàn)實世界中很多變量的變化都是連續(xù)不斷的。

3。生活啟示

在觀察自然和社會現(xiàn)象時，所觀察到的許多變量都是“連續(xù)不斷”變化的：比如，時間的變化，溫度的變化，河水的流動，生物的生長，物體的運動，風俗的變遷等等。毫不夸張的說正是連續(xù)的普遍性的存在才使正常生活成為可能。

連續(xù)性在現(xiàn)實生活中普遍存在，可是由于連續(xù)性本質是自變量的微小變化都僅引起因變量的微小變化，所以在生活中連續(xù)性往往會蒙蔽了人們的雙眼。

現(xiàn)在對于青蛙之死，可以用連續(xù)性的概念來揭開其事實真面目了。顯然對水加熱的過程中，水的溫度T是關于時間t的函數(shù)，并且從函數(shù)圖像上（連續(xù)不斷）可以知道T=f（t）是一個連續(xù)函數(shù)，則隨著自變量時間t的改變，函數(shù)值溫度T也在改變。但由其連續(xù)性可知：在每一時刻t，當時間t改變量很微小時，溫度T的改變量也很微小，于是微小變化沒有引起青蛙的注意，就是在這樣的連續(xù)的微小變化中，青蛙的知覺不再敏感，最終造成了青蛙之死的悲劇。

不得不說生活中的我們也曾被連續(xù)性蒙蔽了雙眼。比如說，我們常說“病來如山倒，病去如抽絲”，其實，病來是也是“抽絲”，只是由于連續(xù)性的原因沒有“倒下”之前總是引不起我們的注意。

有時候，在生活中，即使我們能預測結論，可是由于連續(xù)的實質，真相還是會被掩蓋，讓人不易覺察：如大家都知道世界萬事萬物每時每刻都在發(fā)生著變化，可是你感覺到你的同桌的容貌在今天和昨天有所不同嗎？他是胖了還是瘦了？高了還是矮了？還有我們的父母，當我們天天見面時，我們不會覺得歲月在他們臉上留下的印記，可當我們離家好久歸來時，是不是會猛然發(fā)現(xiàn)他們怎么老的那么快？

然而，就生活而言，連續(xù)性是一把雙刃劍。就以在校大學生的學習生活為例，短時間的勤奮不會讓我們看到立竿見影的進步；同樣，一時的彷徨和懈怠也不會顯現(xiàn)出消極的后果，所以連續(xù)性會給我們一個錯覺：以為干與不干一個樣。但是隨著時間的流逝，當我們看到結果時或也為時已晚矣！

所以作為一個大學生，一定要堅定自己的信念和目標，并積極的一點一滴的去踐行，不要因進步微小而不為，因為連續(xù)性的定義告訴我們：日積月累中，我們的進步就會“現(xiàn)身”了！

[參考文獻]

（1）王金才。關于《數(shù)學分析》中原始概念的教學法[J]。數(shù)學教育學報，2013，22（4）：94-96。

（2）邱云蘭，曾崢。高職高等數(shù)學課堂教學中的互動解題研究[J]。數(shù)學教育學報，2013，22（3）：39-43。