淺析函數與數列的極限概念

呂貴臣　鐘堅敏　羅中函　宋江敏

[摘要]：極限理論是微積分學的基礎理論，掌握極限理論是學好數學分析和高等數學的基礎。為更好地理解函數與數列的極限概念，本文基于分辨率的語言來解析微積分學中的數列和函數極限的概念。

[關鍵詞]函數和數列的極限；ε-N語言； ε-δ語言

[課題項目]重慶理工大學教學改革研究項目（2014YB17）；重慶理工大學科研啟動基金項目資助（2012ZD37）；重慶市科委前沿與應用基礎研究項目資助（cstc2014jcyjA00023）；重慶市教委科學技術研究項目資助（KJ1400937）。

1 引 言

牛頓與萊布尼茨分別獨立創立了微積分，在當時解決了許多非常困難和復雜的問題，然而它的理論基礎并不完善，直至貝克萊悖論的提出，導致了數學史上的第二次數學危機。此后，數學家們投入到了分析嚴格化的研究中，此時，Cauchy提出極限理論，隨后，Weierstrass又給出了更為嚴格的ε-δ語言，奠定了微積分學的基礎。

2 “分辨率語言”與數列極限的ε-N定義

陳景潤院士在一次報告中，形象地說明了數列極限的ε-N語言，這里我們將對陳先生的思想做一點拓廣和應用，來詳細地說數列極限的定義。

例1 （截杖問題）在《莊子-天下篇》中，莊周引用了梁國宰相惠施一句話： 一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

這句話蘊含了極限的思想，其意思是一根長一尺的木棒，每天截下一半，永遠也截取不完。

那么翻譯成數學的語言就是，一根長為一尺的木棒，每天截取一半，這樣我們就得到了如下數列：12，122，…12n…，通過觀察我們發現當n→+∞，12n→0，此時，我們就把0稱為數列12n的極限。這種定義只是描述性定義。

為了從數學上更嚴格地定義它，我們做一個理想實驗，我們具體來操作一下如何截取木棒的過程：今天截下一半，剩余12，明天截下一半，剩余122…，按照這種過程，我們截取到了（假如說）20天，木棒“沒有”了，這里的“沒有”是什么意思呢？ 我們用肉眼看，看不到了或者說分辨不出來了，如果換成顯微鏡，我們會發現，又可以看見了，這樣我們可以繼續操作，由于顯微鏡的分辨率也是有限的，所以總存在一天（假比說是第100天），我們又看不見了。因此，這就需要更高倍的顯微鏡了，… 這樣，我們可以將這種過程持續下去，得到：

任意給定分辨率（ε>0），總存在時刻（N），使得該時刻之后（n>N），無法分辨12n-0<ε。 這樣，我們就利用了分辨率的語言，描述了數列極限的ε-N定義，這種思想我們不妨稱為是“分辨率語言”。

3 “分辨率語言”與函數極限的ε-δ定義

下面，我們將從分辨率的語言，來說明這個函數極限的ε-δ定義，為了更好地理解，我們從下面的一個例子進行闡述。

例2 考察函數f（x）=x+1，分析當x越來越接近于1時，函數f（x）的變化規律，如果x無限接近于1時，f（x）如何變化？

借助于幾何圖形，易知x→1，f（x）→2，即2是函數f（x）的極限。為了更好地利用ε-δ義來說明，我們做如下的理想實驗：

假設有兩只螞蟻沿著軌跡f（x）爬行，現在從某一時刻，螞蟻甲從左邊朝x=1運動，螞蟻乙從右邊朝x=1運動，很明顯，在點（1，2）處，二者相遇。若用肉眼觀察，甲在x1，乙在x2時刻，使得此刻后，感覺它們相遇了，然而，事實上它們之間存在距離，只是超出肉眼的觀測范圍。若換成顯微鏡觀測，又可以看到他們之間存在距離，隨著時間的延續，甲在x3，乙在x4時刻，此刻后，看上去二者又相遇了……，這個過程可以一直持續下去。 這樣，我們就得到了

limx→1f（x）=2ε>0，X1，X2，x∈（X1，X2）/{1}，

|f（x）-2|<ε。

然而，按照這種敘述方式，顯然比描述性的極限定義前進了一步，然而我們如此表示一方面是不美觀，另一方面也無法體現出螞蟻們與x=1的接近程度，我們在（X1，X2）/{1}內取一個x=1的去心鄰域U°（1，δ）（X1，X2）/{1}（我們用δ來體現存在的時刻），進而定義描述成

limx→1f（x）=2ε>0，δ>0，x∈U°（1，δ），

|f（x）-2|<ε。

就是標準的ε-δ定義。

3 總 結

極限理論是微積分學中一個抽象概念，比較難理解，學生在掌握的時候總是感覺無從著手。本文給予一套“分辨率的語言”來更好地理解極限理論的ε-N定義和ε-δ定義，有助于學生對極限概念的進一步理解。

[參考文獻]

[1]華東師范大學數學系編。數學分析，第四版[M]。北京：高等教育出版社，2010（7）。

[2]司清亮，從數學發展史中理解極限理論[J]。焦作師范高等專科學校學報，2008（24）：70-71。