控制系統蒙特卡洛方法應用分析

陳磊

摘要：鑒于蒙特卡洛方法在控制系統設計及分析中的廣泛應用，對蒙特卡洛仿真的工作流程及關鍵技術問題進行分析，并給出一種基于MTTLAB分布式計算引擎的控制系統蒙特卡洛仿真方案。

關鍵詞：控制系統；蒙特卡洛；分布式計算；項目管理器

DOIDOI：10.11907/rjdk.161500

中圖分類號：TP302

文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2016）005-0010-03

0 引言

蒙特卡洛方法是利用隨機數進行統計試驗，求得統計特征值（如均值、概率等）作為待解問題的數值解，所作的統計試驗稱為蒙特卡洛仿真或者蒙特卡洛模擬。該方法是眾多研究不確定性傳遞的方法之一，目的是要確定不確定性（包括系統參數變化、建模誤差、外界擾動等）如何影響系統性能，其常用于復雜的非線性模型以及具有不確定參數的模型。

蒙特卡洛方法可以解決各種類型的問題，一般來說，該方法處理的問題可以分為兩類：第一類是確定性的數學問題。包括計算多重積分、求解逆矩陣、線性代數方程組、積分方程和微分算子的特征值等；第二類是隨機性問題，對于這類問題，有時可表示為多重積分或某些函數方程，并進而考慮用隨機抽樣方法求解。然而，一般情況下都不采用這種間接模擬方法，而是采用直接模擬方法，即根據實際物理情況的概率法則，首先建立一個與求所解有關的概率模型，使所求的解為所建立模型的概率分布或數學期望，然后對該模型進行隨機抽樣觀察，即產生隨機變量，最后用其算術平均值作為所求解的近似估計值。

當前，蒙特卡洛仿真及分析方法廣泛應用于控制系統設計及分析中，包括制導與控制系統設計缺陷的分析、軌道及特定飛行器參數的識別[1]；飛機魯棒性分析中實時穩定裕度的測量[2]；魯棒自動著陸控制律的優化設計[3][4]；電傳飛控系統的飛行品質研究[5]等方面。本文對控制系統蒙特卡洛仿真的工作流程及關鍵問題進行分析，并給出一種控制系統的蒙特卡洛仿真方案。

1 蒙特卡洛仿真工作流程

Matlab環境下的蒙特卡洛仿真工作流程如圖1所示。

蒙特卡洛工作流程為：①首先確定系統仿真參數，仿真次數可以通過理論分析方法或試驗方法確定；②根據不確定性模型生成全部仿真所需的隨機偏差和初始狀態；③以預設的不確定偏差及初始狀態進行仿真調用，并記錄所需的結果及狀態數據；④仿真全部結束后，對記錄的數據進行分析，根據分析結果對仿真模型、控制系統設計進行相應的改進。在蒙特卡洛仿真過程中，需要重點考慮以下問題。

1.1 不確定性建模

大部分實際系統中總是包含有不確定性，蒙特卡洛仿真中需要采用隨機數進行統計試驗，所以需要建立系統不確定輸入的概率模型，即確定不確定輸入的分布類型。對于部分不確定性，根據經驗或理論分析，可以知道其概率分布形式，但大部分情況概率分布是未知的。對于這類不確定性，較為普遍的方法是采用不確定性參數的標稱值均值的正態分布作為不確定性的概率模型。但有些情況下，不確定性明顯不服從正態分布，這就需要根據觀測樣本進行不確定性建模。

假定實際系統不確定性的觀測數據為互相獨立的隨機變量，不確定性建模步驟為：

（1）選擇概率分布類型。選擇概率分布的依據是隨機變量的知識以及占有的數據。很多情況下，可以根據先驗知識以及對產生該隨機變量過程的認識決定或者拒絕哪種分布。另外，數據對概率選擇具有決定性作用。一般有了足夠的數據就可以選擇出較好的概率分布，至少可以作出經驗分布或者半經驗分布，而且可以用數據檢驗所選擇概率分布的正確性。對于統計量連續分布的情況，可以采用點估計法、直方圖法和概率圖法確定隨機變量的概率分布類型。

（2）參數估計。初步確定概率分布類型后，需要確定出該分布的參數，常用的參數估計方法為矩估計法和極大似然估計法。

（3）擬合優度檢驗。選擇參數分布類型，并估計具體參數后，應當進行分布的擬合優度檢驗，即檢驗所選擇的具體分布是否符合給定的數據分布。擬合優度檢驗是一種統計假設檢驗，用于檢驗觀測樣本是否服從于概率分布函數的理論分布。常用的擬合檢驗方法包括檢驗法和Kolmogorov-Smirnov檢驗法。

1.2 仿真調度機制

蒙特卡洛仿真通常需要將一個仿真任務執行成千上萬次，要耗費大量的時間，使得系統設計周期過長，因此并行計算是進行蒙特卡洛仿真的一個必然選擇。Matlab的分布計算工具箱提供了利用計算機集群進行并行計算的功能。

分布計算工具箱通過MATLAB分布式計算引擎可支持開發能在多臺計算機上運行的分布式MATLAB計算應用程序，無需改換原有的MATLAB開發環境。用戶可先在MATLAB中完成計算程序的開發與調試，然后利用該工具箱將算法分解為多個相互獨立或相關的任務。MATLAB分布式計算引擎在多個遠程MATLAB進程中同步調度和處理這些任務，相比單一的MATLAB進程執行，運行時間大大縮短。

MATLAB分布計算工具，仿真系統由以下部分組成：①客戶端：定義項目，將項目分解成多個任務，是用于進行MATLAB編程的計算機；②項目管理器：負責項目管理和任務分發，用戶可以通過項目管理器將項目提交到項目隊列以及將任務分發到工作機；③工作機：工作機接收項目管理器分配的任務，并進行計算。仿真系統各部分之間的交互如圖2所示。

Matlab分布計算工具應用分為分布式執行以及并行計算，在應用分布計算工具進行蒙特卡洛仿真時，蒙特卡洛仿真作為用戶提交的項目，可以自然地分為各個單次仿真任務，各單次仿真相互獨立，因此屬于分布式執行。

1.3 蒙特卡洛分析方法

對控制系統進行蒙特卡洛仿真本身不是目的，蒙特卡洛方法中重要的是應對蒙特卡洛仿真的結果進行充分有效的分析，使其能更好地服務于控制系統的設計及性能優化。對控制系統可以開展以下幾方面的蒙特卡洛仿真分析。

（1）概率統計。首先確定任務成功的準則，然后通過蒙特卡洛仿真可以得到任務成功概率，能夠直接對控制系統的性能進行評價。

（2）仿真模型驗證。針對仿真模型中的某些錯誤和缺陷，單次仿真通常難以發現。因此對控制系統仿真模型，加入隨機擾動及隨機初始狀態，進行蒙特卡洛仿真。在進行系統驗證時，為充分暴露仿真系統的缺陷，設定的隨機擾動的幅值可大于正常擾動幅值。通過對仿真統計結果和失敗案例的概率分析，找出仿真系統的設計缺陷。

（3）控制系統靈敏度分析。采用靈敏度分析技術，確定特定輸出與隨機輸入變量之間的靈敏度。采用最小二乘估計回歸建立線性模型，使用多重測量的相關系數評估靈敏度。采用線性回歸方法搜索仿真輸入空間，找出對仿真輸出影響最大的變量。

（4）定量的系統魯棒性分析。采用蒙特卡洛方法計算系統的隨機魯棒性，得到定量的穩定性描述。

（5）控制器參數優化。在參數最優化計算中，當目標函數為非線性、存在多峰值或維數較高時，往往受到限制。這時應用蒙特卡洛方法比較有效，包括隨機模擬算法，序貫隨機模擬算法及隨機搜索法等[6]。

（6）系統穩定性及飛行品質分析。對于電傳飛控系統，通常考核它的動態特性和飛行品質，即輸入駕駛員桿指令，考察時間響應、短周期阻尼、CAP、延遲時間等品質指標。

通過蒙特卡洛仿真，可獲得階躍響應時間常數、穩態誤差、周期阻尼、CAP、延遲時間等指標的散布點，計算各品質指標的數學期望、方差，可獲得飛行品質的概率估計值。

2 控制系統蒙特卡洛仿真方案

本文建立一種基于MATLAB分布計算工具的蒙特卡洛仿真系統，主要由客戶端以及分布式計算機網絡構成，仿真系統邏輯結構如圖3所示。

2.1 客戶端

客戶端需安裝并啟用分布式計算引擎服務，并安裝MATLAB 分布計算工具箱，用于創建分布式仿真作業。用戶在客戶端計算機的Matlab中構建Matlab仿真模型，創建蒙特卡洛仿真作業，并將作業提交給項目管理器，由分布式計算網絡進行并行的仿真計算。客戶端工作流程如圖4所示。

最終的系統仿真結果會返回到客戶端，因此蒙特卡洛分析工作也在客戶端計算機進行。

2.2 分布式計算網絡

分布式計算網絡中由仿真管理節點和若干仿真節點組成。 該網絡中的計算機都需要安裝并啟用MATLAB分布式計算引擎服務，管理節點運行作業管理器進程，仿真節點運行工作機進程。仿真管理節點負責仿真調度，它接收客戶端提交的作業，將作業所包含的仿真任務自動分配到各個仿真節點進行計算，收集各工作機的計算結果。所有任務完成后將仿真結果返回到客戶端。分布計算網絡環境下的蒙特卡洛仿真整體工作流程如圖5所示。

3 結語

可知蒙特卡洛方法本質上是一種基于參數隨機抽樣的數值計算方法，通過這種方法得出的結果可信度基于兩個條件：①應建立可靠的數學模型，并將此數學模型與實際數據進行檢驗，盡可能在不使模型過于復雜的情況下令模型符合實際數據；②對模型中的隨機量分布有明確的了解，進而針對不同的分布采取合理的隨機抽樣方法。此外，如果條件許可，應該對計算得出的統計結果與實際對照。

蒙特卡洛方法由于能夠驗證復雜系統的環境變化、子系統、部件及全部參數同時變化下的系統特性，可以進行參數的遍歷性試驗，因此具有較高的可信度，目前在國內外航空航天領域獲得廣泛應用，尤其在新型號飛行器控制系統的研制過程中，成為一種有效的、必備的檢測和驗證工具。

參考文獻：

[1]PEGGY S， WILLIAMS. A monte carlo dispersion analysis of the X-33 simulation software[Z].NASA Dryden Flight Research Center， AIAA，2001.

[2]JOHN T， BOSWORTH，SUSAN J STACHOWIAK.Real-time stability margin measurements for X-38 robustness analysis[Z].NASA Dryden Flight Research Center，2005.

[3]GERTJAN LOOYE， HANS-DIETER JOOS， DEHLIA WILLEMSEN.Application of an optimization-based design process for robust autoland control laws[Z].AIAA，2001.

[4]GHN， LOOYE，SANCHO，et al.Design of robust autoland control laws using mu-Synthesis[C].AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit，2002.

[5]楊云，張平. 電傳飛控系統的蒙特卡洛分析與設計[J]. 航空學報， 2008，（29）：18-23.

[6]盧燕，舒傳模. 蒙特卡洛法在導彈末制導雷達對目標的位置捕獲概率估計中的應用[J]. 戰術導彈技術， 2005（1）：29-33.

（責任編輯：陳福時）