重視發(fā)展學(xué)生思維能力的典型素材

【摘 要】本文從概念教學(xué)、思想教學(xué)和解題教學(xué)三個(gè)方面闡述了“排列與組合”這一內(nèi)容幾個(gè)教學(xué)方面的要點(diǎn)，并分別舉例加以分析。從概念教學(xué)和思想教學(xué)的過(guò)程中總結(jié)出一些解題策略，從而將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決。

【關(guān)鍵詞】排列；組合；概念；思想滲透；教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）18-0042-02

【作者簡(jiǎn)介】葛海燕，江蘇省泗陽(yáng)致遠(yuǎn)中學(xué)（江蘇泗陽(yáng)，223700）教師，中學(xué)一級(jí)教師。

“排列與組合”是高中數(shù)學(xué)中內(nèi)容抽象、概念和原理不多，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系較少的一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，在教學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn)。但正因?yàn)樗母拍畋容^抽象，思想方法比較獨(dú)特，且多以實(shí)際問(wèn)題為模型，所以筆者認(rèn)為，它是發(fā)展學(xué)生抽象思維能力和邏輯思維能力的好素材。抓好本節(jié)教學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者以為，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，重點(diǎn)需把握三個(gè)方面：一是對(duì)基本知識(shí)的掌握；二是在教學(xué)中滲透教學(xué)思想；三是促使學(xué)生形成解題策略。

一、理清概念，打好知識(shí)基礎(chǔ)

1.正確區(qū)分排列與組合。

“排列”“組合”是兩個(gè)比較抽象的概念，要分清一個(gè)具體問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，主要是看從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素是否與順序有關(guān)——排列與順序有關(guān)，而組合與順序無(wú)關(guān)。

在學(xué)生了解排列組合以后，為了能夠較好地提高他們的識(shí)別能力，強(qiáng)化“排列既取又排，組合只取不排”的意識(shí)，可以把內(nèi)容相似但一個(gè)用“排列”來(lái)解而另一個(gè)用“組合”來(lái)解的兩道題目放在一起，進(jìn)行對(duì)比分析。例如：從10人里選出一個(gè)班長(zhǎng)，一個(gè)學(xué)習(xí)委員，一個(gè)干事，一共有多少種不同的選法？從10人里選三個(gè)代表，一共有多少種不同的選法？

2.正確區(qū)分兩個(gè)原理。

分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合這一節(jié)的兩個(gè)基本原理，是解決排列和組合問(wèn)題的主要依據(jù)。分清使用的關(guān)鍵在于明確事件需要“分類”還是“分步”完成。兩個(gè)原理的共同點(diǎn)都是將一個(gè)原事件分解成若干個(gè)事件來(lái)進(jìn)行計(jì)算。不同點(diǎn)是：在使用加法原理時(shí)，每一個(gè)分事件完成了，原事件也就完成，即各分事件之間是相互獨(dú)立的；在使用乘法原理時(shí)，如果分事件完成了，并不是原事件的全部完成，只是完成了其中的某一步，各分事件之間不是相互獨(dú)立的，而是相互制約的。通過(guò)這兩個(gè)概念的比較，讓學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)正確地運(yùn)用這兩個(gè)原理，將問(wèn)題分類和分步解決。

二、精選例題，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決無(wú)不是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的，同時(shí)，數(shù)學(xué)思想又是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的理解和升華，是更深層次的內(nèi)容。教學(xué)中只有從某些具體教學(xué)內(nèi)容中去挖掘更深層次的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識(shí)才真正有了核心，學(xué)生頭腦中才會(huì)形成完整的知識(shí)體系，而排列組合這一節(jié)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想極其豐富，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)訓(xùn)練的好題材，教學(xué)中要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

1.分類討論思想。

分類討論是指按一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成若干部分后逐一解決的方法策略。當(dāng)研究的對(duì)象在不同情況下有不同的結(jié)論時(shí)，一般要采用分類討論。對(duì)于復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，靈活地運(yùn)用分類思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，非常有利于問(wèn)題的解決。

例1：將一個(gè)四棱錐P-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，現(xiàn)有五種顏色，那么不同的染色方式有多少種？

分析：可以先給P點(diǎn)染色有C 種方法，再分別給A，B，C，D四點(diǎn)染色，根據(jù)A，C點(diǎn)顏色的異同來(lái)進(jìn)行分類。若A，C兩點(diǎn)同色，那么染色方法共有：C ×C ×C 種；若A，C兩點(diǎn)異色，那么染色方法共有：A ×C ×C 種；所以，滿足題意的染色方法共有：C （C ×C ×C +A ×C ×C ）種。

本題是只有在區(qū)分不同情況后才能確定計(jì)算方法的一個(gè)實(shí)例，可以促使學(xué)生理解分類討論的必要性。

2.化歸思想

化歸思想是將研究的問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)的內(nèi)部聯(lián)系和矛盾運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為規(guī)范問(wèn)題的思想方法。其實(shí)質(zhì)是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化陌生為熟悉，化未知為已知的一種思想方法。在排列和組合中，需要進(jìn)行化歸的問(wèn)題比比皆是，化歸的手法也是多種多樣，某些問(wèn)題的解決過(guò)程就是應(yīng)用化歸思想的過(guò)程。

例2：有5個(gè)小電燈排成一排，每一個(gè)電燈都有亮或不亮兩種狀態(tài)，那么一共可以表示多少種不同的信號(hào)？

分析：假設(shè)有排好位置的5個(gè)空位置，把5個(gè)電燈分別以亮和不亮兩種狀態(tài)依次填入5個(gè)空位，那么每一種填法就唯一對(duì)應(yīng)著一種信號(hào)，反過(guò)來(lái)，任一信號(hào)總可以由一種填法得到，這樣，信號(hào)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為更具體的“填空問(wèn)題”。完成“填空問(wèn)題”這件事可以分為5個(gè)步驟，每一個(gè)步驟都有兩種填法，由乘法原理共有：2×2×2×2×2=32種，故可以表示32種信號(hào)。

運(yùn)用化歸思想可以溝通不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生更清楚地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

3.整體思維。

整體思維就是把需要解決的問(wèn)題看作是一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)、整體形式來(lái)使問(wèn)題得以解決。在排列組合的問(wèn)題中常常會(huì)遇到這樣的情況，所以，有時(shí)要有意識(shí)地放大看問(wèn)題的視角，從而尋找更適合的方法。

例3：有5個(gè)男生和6個(gè)女生排成一排，男女分別排在一起，問(wèn)共有多少種不同的排法？

分析：5個(gè)男生排在一起可以看作一個(gè)整體元素A，6個(gè)女生排在一起可以看作一個(gè)整體元素B。元素A，B的全排列共有A 種，而整體A中男生再排共有A 種排法，整體B中女生再排共有A 種排法，所以，一共有A ×A ×A 種排法。

4.逆向思維。

逆向思維也叫求異思維，它是對(duì)司空見(jiàn)慣的、似乎已經(jīng)成為定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)進(jìn)行思考的一種思維方式。它要求學(xué)生敢于“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問(wèn)題的相反面深入地進(jìn)行探索。

例4：袋中裝有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，現(xiàn)從中取出4個(gè)，如果取到一個(gè)白球記2分，取到一個(gè)黑球記1分，問(wèn)總分不低于5分的取法有多少種？

分析：總分不低于5分的取法有很多種，一一列舉很繁瑣，這時(shí)，可以考慮總分低于5分的取法，只有當(dāng)取出的都為黑球這一種取法。總?cè)》ㄓ蠧 種，而總分低于5分的取法有C 種，所以總分不低于5分的取法一共有：C -C =195種。

三、歸納總結(jié)，形成解題策略

解題雖然不是教學(xué)的最終目的，但它卻是達(dá)到教學(xué)目的的一種手段。解決排列組合問(wèn)題，首先要清楚是屬于哪一種題型，然后再進(jìn)一步分析。常用的排列組合的解題策略有兩條：①特殊元素，位置優(yōu)先考慮，然后再考慮其他的元素和位置；②“捆綁法”和“插空法”，對(duì)于要求幾個(gè)元素相鄰的排列問(wèn)題，可以把這幾個(gè)元素看作一個(gè)整體捆綁起來(lái)與其他元素一起進(jìn)行排列，然后再對(duì)這幾個(gè)元素內(nèi)部進(jìn)行排列，而對(duì)于要求幾個(gè)元素不相鄰排列的問(wèn)題，可以先將其他元素排好，然后將這幾個(gè)元素插入排好的元素之間（包括首位和末位兩個(gè)位置）。當(dāng)然，中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及排列組合教學(xué)的注意點(diǎn)還有很多，其教學(xué)方法亦多種多樣，這就要求我們進(jìn)一步積極思考，不斷地探索研究和總結(jié)歸納。

【參考文獻(xiàn)】

[1]高小榮.關(guān)于排列組合問(wèn)題教學(xué)的思考和實(shí)踐[J].延安教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（02）：51-52.

[2]魏平.“排列組合和概率”教學(xué)三落實(shí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2003（11）：17-18.