數學公式課的“四化”教學策略
——以“兩角差的余弦公式”為例

☉江蘇省啟東市呂四中學李凱

數學公式課的“四化”教學策略
——以“兩角差的余弦公式”為例

☉江蘇省啟東市呂四中學李凱

數學公式課教學普遍存在“輕證明，重應用；輕理解，重記憶”的弊端.相當數量的教師錯誤認為“數學公式就是為解題服務，至于會不會推導證明，是否知道其來龍去脈，那些都是次要問題”.這種認識其實是不對的，因為公式作為數學概念自身的某種屬性反映，及其概念間屬性的反映，是揭示數學聯系的基本形式.其產生、發展的過程蘊藏著極其豐富的數學思想方法，這些數學思想方法對于學生的數學思維的形成與提升具有重要價值.比如，“兩角差的余弦公式”，表面上看在重要考試中不會考查其推導證明的過程，看似推導證明過程可以省略，但實際上這個公式是一個母公式，是推導兩角和、差、倍角等公式的基礎，有了這一公式，三角函數才能真正實現由單角三角函數值的代數運算發展到由復角及其函數值的綜合運算.它的基礎性、思想性和公式結構的對稱性十分突出，而兩角差的余弦公式推導的教學，是滲透數學思想與方法、培養能力的過程.下面筆者就以這節課為例談談數學公式課的教學策略.

一、引入環節情境化

跟數學其他類型的課一樣，公式課首先要體現的就是學習“必要性”的問題，即解決為什么要學的問題.我們之所以要學習新的知識，新的公式，一般都是基于實際的需求，比如，原來的公式已經不夠用了，那么就應該引入新的公式，學習兩角差的余弦公式也是基于這個原因.在此之前，對于特殊角的三角函數值學生已經掌握得非常充分，但對于其他角的三角函數值該如何求呢？比如，sin15°，cos15°，sin75°，cos75°等，這些角雖然不是特殊角，但可以用特殊角的和與差表示出來，也就是說這些角與特殊角有關.既然如此，那么這些角的三角函數值與特殊角的三角函數值有關嗎？這就是學習這節內容的“必要性”，通過對必要性的展示，有利于激發學生學習的動力，解決數學學習的內驅力問題.那么如何展示學習的必要性呢？在引入的環境，我們不妨創設豐富的問題情境，即通過引入環節情境化來體現“必要性”.

問題情境：某城市的電視發射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點A，測得A、C兩點間距離約為67米，從點A觀測電視發射塔的視角約為45度.求這座電視發射塔的高度.

圖1

更一般地說，當α，β是任意角時，能不能用α，β的三角函數值把α+β或α-β的三角函數值表示出來呢？

很多老師在引入中直接拋出問題“求cos150“的值，看似開門見山，直截了當，但與上述情境相比，缺少“實際需求”這個要素，基于實際需求的數學學習更具有活力.

二、發現過程合理化

公式課的第二個環節就是公式的發現過程.公式的發現從思維上講就是一種自主的嘗試與探索過程.當然，數學公式有時“隱藏得比較深”，不是很容易被學生發現，這就需要教師精心創設鋪墊過程.

鋪墊1：通過本題所用的誘導公式sin（π+α）=-sinα，以發現：角α的正弦和余弦等三角函數值與角自身的正弦和余弦有關，這里是否存在一種可能，那就是正弦、余弦的變化對三角函數值是否存在某種影響？

意圖：本設計的目的在于讓學生從三角函數、角及其交換的角度，提出適合于探究的問題，即既與原題有關，又體現出數學性，這是學生面對實際問題時數學意識的一種體現.

鋪墊2：如果有人猜想sin（α+β）=sinα+sinβ，請問這個猜想正確嗎？

意圖：面對數學猜想，學生應當存在質疑的意識與態度，如果猜想有誤，那么就可以在對錯誤分析的過程中避免同樣的錯誤再次發生.

鋪墊3：有人猜想sin（α+β）=msinα+nsinβ，cos（α+β）= pcosα+qcosβ，，其中m，n，p，q都是常數，你說這個猜想正確嗎？

意圖：猜想過程是復雜的，結果也是多元的.通過發散性提問，可以讓學生擴大猜想范圍，同時也提高猜想出現困難時的轉換能力.

公式發現過程的引導要符合學生的知識規律與認知規律，問題的鋪墊設計要注重層次性，環環相扣，從而進一步明確公式的合理性，并為后續的證明提供有用的線索.

三、證明方法多元化

公式的推導與證明是公式課的核心.經歷證明的過程不僅可以揭示公式的來龍去脈，更為重要的是可以通過這一過程滲透數學思想方法，拓展學生的數學思維.在證明公式中，我們要盡量追求方法的多元化，既要尊重教材提供的證明方法，又要學會通過加強數學知識間的聯系，引導學生探索其他證明方法.

幾何法：讓學生從幾何的思路出發，通過將圖2中的圓當成單位圓，然后通過割補的方法構造出新的直角三角形.同時得到：sin（α+β）=MC+CP1=BA+CP1=sinαcosβ+ cosαsinβ，cos（α+β）=OB-MB=OBCA=cosαcosβ-sinαsinβ.

意圖：讓學生獲得通過輔助線使用、基本的割補法的使用等，將復雜問題轉換為簡單問題的方法的能力.

向量法：觀察公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的結構要素，分析其與哪個公式比較相似.

本題中終邊與單位圓存在交點，分別為A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），進而還可以發現其與向量數量積公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ與單位圓的交點也比較接近，于是產生解題靈感.于是建立直角坐標系，借助單位圓，利用向量數量積推導兩角差的余弦公式自然水到渠成.

意圖：凸顯數學思維的自然性與合理性，并突破重難點，同時再現真實的探究過程.

利用兩點間距離公式：不難發現（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2與cos（α-β）存在著緊密的聯系.將（sinαsinβ）2+（cosα-cosβ）2看成兩點P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ）距離的平方.

圖2

通過圖3可以看到，在坐標系內作出一個圓與角α，β，讓它們的終邊與單位圓相交，交點記作P和Q，則|PQ|2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.此時如果想得到cos（α-β）的表達式，那就需要引導學生在單位圓中尋找與PQ相等的弦，然后進行相應的旋轉，即可完成任務，且∠POQ=∠P1OQ1，故△POQ≌△P1OQ1，所以有|PQ|=|P1Q1|.因為|P1Q1|2=［1-cos（α-β）］2+ sin2（α-β）=2-2cos（α-β），所以有（sinα-sinβ）2+（cosαcosβ）2=2-2cos（α-β），即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖3

這一過程實際上是啟發學生從數學公式出發，從多個角度去對問題展開聯想，這樣就可以產生新的問題，并以新的問題來促進思維的發展，從而也就激活了學生思維的主觀能動性.還加強了學生綜合運用數學知識的能力，參與意識也大為增強.在此過程中，數學學習成為學生參與度較高的過程，也體現出學生在學習過程中的主體地位.

四、知識背景網絡化

數學知識自身的聯系性很強，通常情況下，一個問題可以為學生有效解決，但問題之間所表現出來的聯系，則不容易為學生所發現，所以說在數學教學中需要讓學生學會從整體角度研究數學問題.數學公式看似一大堆符號的堆積，但實際上公式之間的存在著緊密的邏輯聯系和豐富的幾何、歷史背景，將這些線索串起來，形成網絡，就會達到融會貫通的效果，有助于學生抓住公式的“靈魂”.揭示公式背后的幾何背景（1）利用面積關系，如圖4所示.

圖4

（2）借助單位圓，如圖5所示.

圖5

一個優美的幾何圖形不僅包含了構造者的奇思妙想，還往往蘊涵著數學的本質，體現了數學的美學意義.如果能夠將學生的思維再次落在幾何形象上，就可以讓學生直觀地感受到三角公式，進而發現新的公式，從而就可以讓學生的思考更活躍.

綜上，數學公式課教學不僅僅是公式的本身的記憶與應用，更為重要的是要在教學過程讓學生不僅知其“源”，而且知其所源，從而使公式教學充滿濃郁的文化氣息.G