診斷問題癥結做到高效復習

☉江蘇省錫東高級中學滕陳英

診斷問題癥結做到高效復習

☉江蘇省錫東高級中學滕陳英

從近兩年的江蘇高考情況看，試卷中的解析幾何題目一般是兩小一大，分值在22分左右.二次曲線是高中數學的重要內容之一，涉及知識點多、知識面廣，常與其他知識（方程、三角、函數等）彼此滲透，相互融合，是高考經典題型之一.二次曲線問題往往入手容易，但要善始善終，想獲得正確完美的解答卻不容易.筆者根據自己的教學實踐，結合同學們在學習解析幾何中常見的幾類癥狀，有針對性地加以診斷，從而提出解決之法.

一、生搬硬套——忽視前提條件

例1若橢圓的一條準線方程為x=10，其相應的焦點為（4，0），離心率為，求此橢圓的方程.

點評：上述兩種解法錯誤的原因是：誤認為橢圓的方程是中心在原點的標準方程，從而生搬硬套亂用橢圓的標準方程，導致錯誤.實際上，只有曲線的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的情況下，才能直接套用標準方程的形式.

二、盲目互換——忽視條件的判斷

例2求中心在原點，對稱軸是坐標軸，一條漸近線方程為4x+3y=0，且過雙曲線方程.

點評：上述解法錯誤的原因是：忽視焦點位置的探討，貪圖省事，盲目互換，以致出現錯誤.實際上，解決此類問題應該先判斷雙曲線的焦點位置，再設方程，事實上此題正是如此，焦點不在y軸上.

解：依題意知，雙曲線的另一條漸近線方程為4x-3y=0，

三、未挖隱含——忽視二次曲線的性質“有界性”

錯解：由2=4b2，橢圓方程可化1.

設P到橢圓上的點（x，y）的距離為d，

點評：上述解法錯誤的原因是：忽視了橢圓“有界性”，即橢圓是一個封閉曲線，在本題中動點（x，y）的縱坐標范圍應為y∈［-b，b］，學生誤認為時取得最

值，從而導致錯誤.解決此類問題應注意變量的值是否在對應范圍內.

四、憑空想象——忽視圖像的作用

例4一個動圓和已知圓x2+y2-2x=0外切，并與直線l∶x+y=0相切于點A（3，-），求該動圓的方程.

錯解：設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，已知圓的方程可化為（x-1）2+y2=1.

所以動圓的方程為（x-4）2+y2=4.

點評：上述解法正好驗證了解析幾何的特點：入手容易，堅持困難.此題思路正確，列式無誤，但是計算困難，以致造成錯誤，遺漏了一組解.之所以出現如此情況，原因在于憑空想象，忽視了圖像在解析幾何中的重要作用.本題只要作出正確的圖像，充分利用圖形的幾何性質，就能發現應該有兩個結論，并且可以使運算簡單化.

解：設動圓的圓心為P，已知圓的圓心為M，由已知兩圓外切，則PM=1+PA.

由幾何性質得動圓的圓心P在過點A且與直線l垂直的直線l′上，

五、以偏概全——忽視思想方法的應用

（1）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成

例5已知橢正三角形，求橢圓的方程；

（2）設過點F的直線l交橢圓于A，B兩點，若直線l繞點F任意轉動，恒有OA2+OB2＜AB2，求實數a的取值范圍.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程得

點評：直線與圓錐曲線的綜合問題幾乎年年都是重點考查的內容，但是上述解答錯誤的原因是：忽略了對直線斜率不存在這個特殊情況的討論，導致解答不全面.直線的斜率存在時，解答同上.

教學感悟：“問渠哪得清如水，為有源頭活水來”.縱觀近幾年的數學高考題，試題越來越“返璞歸真”，既不需要深奧的知識，也沒有高難的技巧，許多題目扎根于課本，由若干個基礎知識經串聯、加工、改造而成.因此在高三復習時要抓住主干知識進行強化復習，重視典例分析，通過引申、拓展、探究，做到解一題通一片，跳出題海，提高復習的實效性.G

驗證得