一次類比思想使用的復習教學設計

☉江蘇如皋市第一中學夏雋

一次類比思想使用的復習教學設計

☉江蘇如皋市第一中學夏雋

眾所周知，數學思想教學是中學數學中最為高層次的意識形態的教學，從基本知識、基本技能到知識之間的整合教學，數學教學一直呈現一種螺旋式上升的過程，當知識間整合教學完成之后，教學又進入一種全新的上升狀態，即思想方法教學.談起數學思想方法，學生從初中開始就接觸過很多，比如：數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想等，這些思想方法都很重要，幫助學生在不同問題間游刃有余、輕松解決.筆者請學生數過他們了解的一些數學思想方法，學生可以說出很多思想方法的名稱，除上述之外還有特殊和一般的思想、轉化與化歸的思想、類比思想等，筆者又問這些思想方法間有什么差別？學生一臉茫然.這說明學生并沒有真正地體會數學思想的重要作用，他們會將方x+b僅有一解時b的范圍用畫圖的方式求出來，就認為已經掌握了數形結合思想.

其實，思想方法本身也有不同的差別，如函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想等可以稱之為具備知識基礎的知識型思想方法，比如：類比思想、轉化與化歸思想等明顯是置身于意識形態中的更為高端的思想方法，其往往除具備知識外，還極大地引領、開拓學生的思維，這就與課程標準對于思想方法滲透于數學教學的描述不謀而合.從現階段中學數學教學來看，類比思想是啟發學生思維發展、延伸，幫助其培養創新性思維較好的方法.筆者以解析幾何中圓與橢圓的相似問題做一番設計，從圓的角度出發，來探索如何利用類比思想解決橢圓問題，以筆者之磚引讀者之玉.

大家知道，圓和橢圓有著很多類似的性質，比如：類似的形態、直線與其位置關系僅有三種，切線的方程極為相似等，這種相似是偶然的嗎？筆者和大家一起來探索這樣的問題.

設計一、類比伸縮的認識

先介紹下縱向伸縮變換：將圓x2+y2=a2在縱向均勻壓縮為原來的倍，其表達式變為新的曲線，即橢圓= 1（a＞b＞0），考慮到焦點在y軸的情況類似，故本文只研究焦點在x軸的情形.記：已知圓上點P（x，y）變換成點P′（x′，y′），縱向變換然這是一個一一映射（可逆的），且由于點P、P′的橫坐標相等，因此PP′的連線必垂直x軸.同理：有橫向伸縮變換.

設計二、類比伸縮的性質

先給出幾個類比伸縮的性質：

性質1：記一個變換為f：其將一條直線變換為另一條直線，則變換后直線斜率為原來直線斜率的倍.

說明：由此可知，若兩直線原來位置關系為平行，則變換后兩直線平行性保持不變.

性質2：記一個變換為f：將線段AB分為比值λ的點P變換成分線段A′B′為同一分比的點P′.

說明：這個容易證明，在伸縮變換中這個比值是不變的，可以利用定比分點公式證明，此處簡化.

性質3：一個面積為S的三角形經f變換后的三角形面積S′=S.

簡證：設△A1A2A3三個頂點的坐標分別為Ai（xi，yi），則xi=x′i，yi=y′i（i=1，2，3）.

說明：對于三角形成立的上述性質，在多邊形中也能成立，即可以將多邊形分解為多個三角形，即變換前

設計三、類比伸縮的運用

圖1

解析：我們可以想象，若本題的背景是圓，則顯然有KAP·KBP=-1，因此可以肯定經過了伸縮變換，在橢圓背景定值.如圖1，把縱坐標變換為原來橢圓變成半徑為a的圓，由性質1得定值.（本性質可以在橢圓中進行證明，但是運算量比通過伸縮變換證明稍顯復雜一些）

問題2：（2009年安徽高考數學理科第20題）點P（x0， y0）在橢圓（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ直線l與直線垂直，O為坐標原2點，直線OP的傾斜角為α，直線l2的傾斜角為γ.求證：點P

分析：問題的實質就是證明直線l1是橢圓在點P的切線方程.由過圓x2+y2=a2上一點（x0，y0）的切線方程為x0x+ y0y=a2，可知利用伸縮變換得到直線l1：=1，即為過點P的橢圓切線.

證明：把縱坐標變換為原來的a倍，則橢圓變成半b徑為a的圓，則過圓上點Q（X0，Y0）（Q為P的一一對應點）的切線方程為X0x+Y0y=a2，由伸縮變換因此，l1就是橢圓在點P的切線方程，結論成立.

說明：大家知道，過圓上一點作的切線方程與過圓外一點引兩切線，兩切點連線的方程都是同一結論，而將背景改變為橢圓后，其實橢圓中也有類似的結論.對于橢圓中相關切線的證明，可以利用類比思想和伸縮變換，這種方式非常有助于學生從不同的視角看待問題，其并沒有運用一味的運算方式，而是將圓中現成的結論通過伸縮變換直接轉換成橢圓的切線結論，是既高效又簡捷的方式，還充滿了創新的精神.

圖2

記∠AiOAi+1=θi（1≤i≤n-1），式為琴生不等式，因為f（θ）= sinθ在（0，π）上為凸函數，由琴聲不等等號成立，由性質3知，橢圓的內接n邊形的面為橢圓內接n邊形面積的最大值.

對圓和橢圓之間的類比問題解決，筆者初步做了一番上述的探索.類比思想在其中起到了很大的作用，很多以前看似較為困難的問題在類比思想的運用下，簡化了很多，也給我們解決橢圓中類似的問題帶來了全新的解決思路.筆者這一課的教學設計對于思維活躍的學生有著比較好的提高，因此，在教學中若能有效結合常規解決方案和類比思想下的伸縮變換，有助于這些優秀學生更好地開拓新的問題解決視角.

圓錐曲線本身就是一個統一體，為了方便中學生學習，我們人為地將其分成了圓、橢圓、雙曲線、拋物線四部分.圓和橢圓有著極為相似的性質和特點，筆者建議在學習橢圓過程中，恰如其分地引入圓中的一些性質、特點，利用圓中問題的解決進而伸縮變換解決橢圓中類似的問題，既簡化了問題解決的過程，又開拓了學生問題解決的思路，增加了學生的視野，也有利于學生創新精神的培養.

1.張琴竽.活用伸縮變換巧解橢圓問題［J］.中國數學教育（高中版），2009（10）.

2.劉瑞美.對2009年高考中一道圓錐曲線問題的探究［J］.中學數學雜志（高中版），2009（6）.F