例談核心素養在向量教學中的呈現

☉江蘇省南通市天星湖中學王小麗

例談核心素養在向量教學中的呈現

☉江蘇省南通市天星湖中學王小麗

眾所周知，新一輪課程改革正在積極醞釀之中，教育部以浙江、上海作為新一輪課程改革的示范省市，將更為全面的教育推向全國.原東北師大史寧中教授等正著力數學新一輪課程標準的編制，其提出了在中學傳統數學教學注重雙基三能（基本知識、基本技能、邏輯思維能力、空間想象能力、推理運算能力）的基礎上，將更為細致地進行劃分，提出了六大核心素養的培養，即數學抽象素養、邏輯推理素養、數學建模素養、直觀想象素養、數據處理素養、運算能力素養.這些素養對于一線教師而言，其實并不陌生，可以這么說，在當下數學教學中，教師通過數學問題的解決，對于學生也不斷穿插、提煉了上述素養，只是筆者覺得這種提煉還缺乏一定的體系和系統化，因此，課程改革正是需要將這些碎片化的部分整合起來，給出明確的教學目標，讓數學教學變得更有導向性，讓學生的數學能力和素養變得更為全面.

向量是新課程中較為重要的章節，將向量引入高中數學教學是高等數學與初等數學合理的銜接.從知識來看，向量體現了抽象與形象的結合，如平面向量基本定理和正交分解，向量體現了很多高等數學背景下的建模類型，如極化恒等式；向量體現了工具性的作用，在解決立體幾何和平面幾何中有著無可比擬的優越性.下文筆者將結合教學案例談一談這些核心素養在向量教學中的實施，限于篇幅選擇部分素養進行交流.

一、數學建模素養

建模素養是數學實際價值性的體現，是數學最終服務于生活的所在.課程標準一直致力于數學應用價值的推廣，在教材中章建躍等編者編寫了很多與數學知識相關的應用題，旨在暗示利用數學建模解決問題的重要性，提高學生數學建模的素養.但是與現階段高考應試有所不同的是，應用題在高考應試中出現的頻率較少、難度也較低，因此，廣義的建模也不一定是實際問題的模型建立，筆者認為也可以是數學問題本身的本質模型識別、建構，如何將不同的陌生問題建模為熟悉的數學問題求解，也是亟需培養的核心素養.

在向量章節中，向量有很多實際的重要使用模型可供教學總結，如向量中極為重要的三點共線性質：已知O是直線AB外一點，則A、B、P三點共線的充要條件是O—→P=（1-t）.以這一模型為本設計的向量問題，都是為了培養學生將陌生問題轉化為熟悉問題的建模素養，值得教師教學探索.

說明：三點共線性質是平面向量基本定理演變的一個非常重要的性質，使用其可以輕快地解決很多向量相關問題，在理解向量、思維開拓上有著極為重要的作用，特別是對于斜交分解有著深刻的認知和理解，因此，將這樣重要的性質以單元知識結構的形態存儲，以模型的形態置于頭腦中，有助于學生建模素養的形成和問題解決的優化.

二、數學抽象素養

抽象素養是數學核心素養的第一要素，這也是高中數學不同于初中數學、小學數學的重要因素.從低齡段非形式化為主的數學知識學習，到高齡段形式化為主的數學知識學習，學生的學習正是不斷地從具體形象到抽象轉變，這種轉變貫穿于高中數學教學的始終，這正是初等數學上升到一定程度的理性總結，向高等數學靠攏的特征漸漸體現出來.筆者以為，從初高中銜接到高中數學新知教學結束，高中數學非形式化的手段更多的是輔助形式化知識學習，不斷灌輸數學抽象素養的形成，不斷總結抽象歸納的重要性.

例2已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|a-b|= 5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_____.

解析：向量有坐標向量和自由向量，學生往往喜歡坐標向量，而懼怕自由向量，原因很簡單：坐標向量是以運算為主的正交分解下的運算，而自由向量更多涉及的是聯系幾何本質、圖形化的一種知識，需要更多的思考，相對而言抽象性較坐標向量大，因此抽象理解需要教學更多關注.請學生思考問題，我們發現，大都學生首先對于問題的處理都是一種代數化的想法.

嘗試：從向量問題的思維來說，愈來愈多的向量問題是以考查學生思維為主的，如學生所給出的代數法很難在具體運算中得到答案，作為填空題而言缺乏向量抽象的思維是很難實現的.因此，筆者認為，在解決依賴思維作為突破口的向量小題面前，多理解向量的圖形本質、多從思維角度入手、多培養抽象的思維，有助于學生掌握中學數學的向量小題，也有助于數學抽象思維的培養和核心素養的建立.仔細分析上述問題，學生給出代數法由于同時還涉及|a|，|b|，|c|，b與c的夾角這些未知數，因此無法求得a·c，而且代數法計算量明顯較大，因此選擇從思維角度和圖形化入手.

導向：引導學生對于本題進行再思考、再精讀：“a· b=0”、“（c-a）·（c-b）=0”向我們提供了一個重要的信息：垂直，利用這種垂直關系可以找到本題的圖形特征——圓，因此根據題意構造圖4.

知識：我們再結合問題進行尋根，問題之根：a·c=|a|·|c|cosθ=（x1， y1）（x2，y2）.

圖4

定法：根據求向量數量積的兩種不同形式，自然能想到求解此題的兩種方法：幾何法、解析法（方法之根）；只要我們準確找到了題根，破題在即，躍然紙上，利用多解性的方式將問題給予呈現，也成為了開枝散葉、提高思路的一種方式.

圖5

思維素養1：關注到有條件a·b= 0和（c-a）·（c-b）=0，也就是存在兩個垂直關系，因此引導學生想到此題中應該蘊含著典型的幾何圖形，由此可借助于這兩個垂直關系去構造圖形.如圖5，令向量O—→A=a，O—→B=b，O—→C=c，則由a·b=0和（c-a）·（c-b）=0，可得∠AOB=∠ACB=90°，因此可得四邊形OACB為圓的內接四邊形，AB=|a-b|=5為圓的直徑，CA=|a-c|=3，BC=|b-c|=4.記a與c的夾角為θ，在圓中，由θ=平方可得a2+c2-2a·c=9，則a2+c2=9+2|a|·|c|cosθ=9+

圖6

思維素養2：又注意到題中出現了a-c及a·c，因此結合a+c便可得到此三者之間的一恒等關系：a·c=對于a+c，可在△OAC中，取AC中點M（如圖6），則a+c=2→，因此，要求a·c的最大值，只需求|的最大值即可.在圓中，由于AC=3，所以當OM經過圓心時取得最大值.18.

說明：從問題解決過程中，我們發現如何將條件一步一步用思維構建成圖形，如何利用這些條件在頭腦中形成抽象性質的整合是關鍵，這種利用思維不斷解決向量問題的思路是思維素養的核心.另外，在處理數量積c）2］”是一個極為高效的處理工具，教學中可以多加關注和引導.

總之，核心素養還有其余方面的呈現，要適應新的課程教學改革，教師首先要在教學中嘗試這些素養的滲透，并注重以知識結合素養進行教學的設計，限于篇幅，筆者未能在邏輯方面、運算方面、數據處理方面等展開敘述，懇請以本文之磚引讀者之玉.

1.鮑建生，等.向量教學研究［J］.數學教學，2013（1）.

2.宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月刊，2013（5）.

3.方厚石.向量教學詮釋思維品質［J］.數學通訊，2014（1）.F