揭示數學本質，發展學生思維能力*
——以“導數在研究函數單調性中的應用”教學設計為例

☉江蘇省懷仁中學謝建金董榮森

揭示數學本質，發展學生思維能力*
——以“導數在研究函數單調性中的應用”教學設計為例

☉江蘇省懷仁中學謝建金董榮森

一、設計理念與意圖

本節課以建構主義理論為指導，以新課程理念為依據進行教學設計.在新課導入和學生活動環節中大膽地設計了：由“過山車”視頻喚起學生對童年的回憶，畫一畫（通過操作對已學知識的復習，寓割線逼近切線的方法于其活動之中）、想一想（復習單調性定義和導數定義，為理性分析它們之間的關系做鋪墊）、探一探（引導學生探尋導數的符號與函數單調性的關系）.首先要挖掘其知識背景，設置貼近學生實際的情景——在“過山車”時視線的變化，來幫助學生感性認識上升或下降與視線的斜率之間的關系；其次借助超級畫板，從幾何直觀來演示遞增與遞減時，切線斜率符號變化情況；再結合函數單調性定義和導數定義從理性的角度去探索函數單調性和導數正負的關系.目的是把學習的主動權交給學生，激發學生的學習熱情，為學生提供自主、探究、合作交流的機會，真正改變了學生的學習方式.

二、教材與教法分析

導數在高中數學中是一個較新的內容，利用導數可以研究實際生活中的增長率、效率、膨脹率、速度等問題.利用導數來研究函數的單調性是非常具有優越性的，而且也會涉及到最值等問題，具有良好的承上啟下的作用.本節的教學內容是導數在研究函數的單調性方面的應用，借助函數圖像的直觀性探索歸納出函數的單調性與導數正負的關系.教學難點是利用導數在圖形中探究函數的單調性，準確判斷不同函數的單調區間.

本節課采用啟發探究式教學，方法線：“觀察體悟—合理猜想—理性分析—一般結論”；過程線：“創設情境、引入新課—主體活動、建構新知—立體互動、解決問題—師生互動、提升能力”；知識線：“單調性、導數定義—導數的正負與單調性的關系—導數在研究函數單調性中應用”，強調數形結合思想、轉化與化歸思想、分類討論思想的應用，培養學生的探究精神，提高語言表達和概括能力，形成良好的思維品質.

三、學法指導

教師是教學的主導，學生是教學的主體.教學矛盾的主要方面是學生的學.學是中心，會學是目的.因此，在教學中要不斷指導學生學會學習，學生前面已經學習了函數單調性的基本概念、判斷方法，導數的概念以及初等函數的求導公式、導數運算法則為綜合應用導數與函數單調性做好充分的準備.但學生學習基礎還存在較大的分化，應抓住基本概念，強化基礎知識、基本技能、基本方法的訓練，循序漸進的提高.因此，在引入和例題的選擇上注重梯度、注重類比、注重數學思想，增加學生主動參與的機會，增強學生的參與意識，教給學生獲取知識的途徑、研究和思考問題的方法，讓學生真正成為教學的主體.只有這樣，才能讓學生“學”有新“思”，“思”有所“得”，“練”有所“獲”.學生才會逐步感到數學美，體會成功的喜悅，從而提高學生學習數學的興趣.

四、教學過程設計

（一）創設情境、引入課題

相信大多數同學有過坐“過山車”的經歷和體會，媒體播放“過山車”片段.

【畫一畫】請用割線逼近切線的方法分別畫出你坐“過山車”經過A、B位置時視線所在的直線（在A、B點處的切線），領悟在上升和下降過程中視線的變化？（動畫演示）

圖1

設計意圖：通過畫一畫復習割線逼近切線的方法以及導數的幾何意義，聯系生活實際（如坐過山車的視線）來加強幾何直觀，體會在上升和下降過程中，視線所在直線的斜率的變化情況，為揭示導數與函數單調性之間的聯系做好鋪墊.

（二）主體活動、建構新知

導數作為函數在某一點處的瞬時變化率刻畫了函數變化趨勢（上升或下降的陡峭程度），而函數的單調性也是對函數變化趨勢的一種刻畫，那么導數與函數的單調性有什么聯系呢？

用超級畫板演示曲線上點在運動的過程中，提醒學生注意觀察切線斜率符號的變化.

【想一想】函數f（x）在區間（a，b）上是增函數，如何定義的？

對任意x1，x2∈（a，b），當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2）；或當x1＞x2時，f（x1）＞f（x2）.

【探一探】導數正負與函數單調性的關系？

由上述定義不難發現x1-x2與f（x1）-f（x2）同號，從而

表明：導數大于0與函數單調遞增密切相關.同理，導數小于0與函數單調遞減密切相關.

【數學理論】如何用數學語言刻畫導數的正負與函數單調性的關系？

圖2

【歸納結論1】一般地，對于函數y=f（x），

如果在某區間上f′（x）＞0，那么f（x）為該區間上的增函數；

如果在某區間上f′（x）＜0，那么f（x）為該區間上的減函數；

如果在某區間上恒有f′（x）=0，那么f（x）為常數函數.

設計意圖：從函數單調性定義出發，通過一系列的設問，讓學生探究單調性定義中和導數之間的相關點，并建立它們之間的聯系，重視學生學習過程，加深感性認識.通過畫一畫、想一想、探一探等，幫助學生確立探究問題、明確探究方向和總結探究步驟，確保探究的有效性，其中借助多媒體輔助教學，增強學生的直觀感受和邏輯性.

（三）立體互動、解決問題

例1確定下列函數的單調區間：

（1）f（x）=x2-4x+3；（2）f（x）=2x3-6x2+7.

練習：求下列函數的單調減區間：

（1）f（x）=ex-x；（2）f（x）=xlnx（3）f（x）=sinx，x∈（0，2π）.

設計意圖：這一環節，緊扣課標要求，立足教材但高于教材，優選教材中的例題，精選練習（涉及指數，對數，三角不等式解法）.讓學生利用新學習的知識解決實際問題，解題過程中注意過程的完整性，通過學生板演充分暴露學生、易錯的典型問題，有針對地強化和鞏固，充分發揮學生的主體作用，適時進行歸納總結一般性的結論.

【歸納結論2】運用導數確定函數單調性的一般步驟：

（1）確定函數的定義域；

（2）求導函數f′（x）；

（3）由f′（x）＞0或f′（x）＜0，解得x的范圍；

（4）確定函數單調區間.

【思考】試結合f（x）=x3進行思考：如果f（x）在某區間上單調遞增，那么在該區間上必有f′（x）＞0嗎？（注意：由導數的正負可以判斷函數的單調性，但不能將條件與結論對調）

【變式】用導數證明函數f（x）=ex-x在區間（-∞，0）上是減函數.

【練習】證明函數y=-lnx在定義域上是單調減函數.（四）師生互動、提升能力

【追問】我們已經會求函數f（x）=x3-x的單調區間，你能畫出它的大致圖像嗎？

例2已知方程x3-x-m=0有三個不同的實數解，則實數m的取值范圍為_______.

【練習】設函數f′（x）是函數f（x）的導函數，y=f′（x）的圖像如圖3所示，則y=f（x）的圖像最有可能是（）.

圖3

設計意圖：通過具有開放性問題的設計，可以拓展學生思維，有利于學生對函數單調性與導數關系的更深層次的理解，進一步培養學生作函數圖像與使用數形結合思想解決問題的意識.

【課堂小結】1.通過本節課的學習，你學到了哪些知識？

明確了導數的正負號與函數單調增減的聯系；利用導數研究函數單調性的一般步驟.

2.你利用導數能解決哪些問題？在解題時應該注意些什么？

利用導數求函數的單調區間和證明函數的單調性.注意原函數定義域限制，與不等式相結合，解不等式時注重對參數的討論.

3.本節課我們用到了哪些數學思想方法？

本節課用到的數學思想方法：數形結合、分類討論、轉化思想以及分離變量的方法.

設計意圖：通過對本節課所學的知識、技能、思想方法的總結，培養學生學習—總結—反思的良好習慣，使學習更上一個臺階.

【課后作業】1.課本P34：習題1.3第1，2，7題.

2.已知函數f（x）=x3-mx2+3x+2在R上是增函數，求實數m的取值范圍.

五、教學感悟和對教學設計的思考

導數與單調性的關系影響到后面函數的極值、最值的求法，對學生要強調對后續學習有著重要地位，是基礎中的重點.本節課注重例題的逐步深化，對學生的要求逐步提高.應引導學生多分析，讓學生養成學習—總結—學習—反思的良好習慣，同時通過自我的評價來獲得成功的快樂，提高學生學習的自信心.數學思想方法對解題的指導意義的認識：數形結合、分類討論、化歸與轉化思想以及分離變量的方法.注重基礎，防止學生兩極分化，讓學生都有所收獲，有所提高.對于數學課堂教學設計，應該以揭示數學本質，發展學生思維能力為宗旨，主要關注以下幾個問題：

（一）抓住教與學的核心，調動學生思維參與

數學課堂教學的本質應該是以師生活動為中心，把握數學本質，發展學生的思維能力.數學本質是一個數學哲學問題，學術界對它的理解有不同的視角.我們在課堂教學中強調的數學本質，其內涵一般包括：數學知識的內在聯系；數學規律的形成過程；數學思想方法的提煉；數學理性精神（依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理，這種認識為理性認識.重視理性認識活動，以尋找事物的本質、規律及內部聯系，這種精神稱為理性精神）的體驗等方面.數學教與學核心是“活動”，不是一般意義熱熱鬧鬧的活動，也不是那種沒有目標無序的活動，而是一種內在的數學思維活動，而是在教師的指導下，有明確目標的探究活動.教學過程中教師有意識地通過設置問題引導學生活動，如畫一畫、想一想、探一探等活動，揭示數學本質，調動學生思維積極參與活動.

圖4

（二）瞄準課堂教學目標，發展學生思維品質

教學目標是課堂教學的指明燈，教學目標是否達成是評價一節課成功與失敗的重要依據，因此在教學過程中我們要瞄準教學目標.本節課的教學目標就是要探尋函數的單調性與導數正負的關系，要從根本上把握和理解“導數大（小）于零，函數單調遞增（減）”的數學本質，發展學生思維品質.

（三）注重應用總結提煉，培養學生思維能力

一節課要通俗易懂，讓學生對知識牢固掌握，教學脈絡清晰很重要.本節課緊緊圍繞課堂教學目標，從“問題驅動、引入課題—主體活動、建構新知—立體互動、解決問題—師生互動、提升能力”等四個方面展開教學.精心設計問題，如例題和練習的設計循序漸進，逐步提高學生的能力，同時注重數學應用和提升.在每一環節中，都引導學生進行歸納總結和提煉，有利于培養學生的抽象、概括等思維能力.

1.［美］G.波利亞，著.怎樣解題——數學思維的新方法［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

2.董榮森.精心設計教學環節細化概念教學過程——以“簡單隨機抽樣”課堂教學設計為例［J］.中學數學（上），2015（2）.

3.董榮森.細化概念教學過程揭示數學本質——以“三角函數的周期性”教學設計為例［J］.中學數學（上），2015（10）.G

江蘇省教育科學“十二五”規劃2013年度普教重點自籌課題——多元表征在數學問題解決中的應用研究（B-b/ 2013/02/063）.