探析高中數學解題中運用構造法的措施

☉浙江省寧波外國語學校羅文靜

探析高中數學解題中運用構造法的措施

☉浙江省寧波外國語學校羅文靜

隨著新課改的進一步深入，以及新課標所出臺的一系列措施，給高中數學解題教學帶來了一定的挑戰.因此，這就需要數學教師務必根據學生的實際情況，并結合新課改下高中數學教學大綱內容，切實地對數學解題的新思維和新模式進行深入的探究，將構造法合理地運用到數學解題課堂當中，讓學生通過運用構造法解決數學難題，從而有效提升他們的數學解題效率.

一、構造法的含義和意義

構造法旨在根據題設條件和結論所具有的一些特點與性質，進一步地構造出符合條件和結論的數學形式，能夠將解題過程中的“未知”條件轉化為“已知”量，以達到有效快速地幫助學生解決問題的過程.［1］著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”這句話主要是說構造法在實際運用當中是通過較為直觀的圖形來表示已知量和解題的關鍵所在，從另外一個角度來看，也就是說在確定論證之后通過數形結合進行解題的過程.可見，構造法在實際的運用中，不僅是通過圖形來實現解題，同時在函數、方程、向量等解題當中也發揮著重要的作用.在數學學習中，大部分的學生比較擅長于運用方程和函數等進行解題，而方程與函數作為構造法使用的輔助工具，在解題過程中，不僅加強學生對當前知識的學習，還進一步地鞏固了他們所學的知識.同時，構造法的使用還會借助于構造模型，從而獲得解題的技巧.而構造模型方法的使用，進一步地加強了學生創新和思維能力的培養.

二、高中數學解題中構造法的具體運用分析

在數學教學中，解題教學作為其中一種重要的教學方式，在一定程度上影響著學生的數學成績.因此，解題思想也被稱為數學思想的主線，而在解決數學問題過程中，構造法的運用范圍也就越來越廣泛，以下就針對構造法在函數解題、方程解題及向量解題中的具體運用進行分析.

1.構造法在函數解題中的運用

函數構造作為高中數學解題過程中最常使用的一種構造方法，不僅能培養學生的解題思想，還能提高他們解答實際問題的能力.而函數作為高中數學解題的重點之一，在函數學習中，不僅要教會學生掌握解題技巧，同時還要培養他們的解題思想.解題思想作為數學解題中的關鍵，特別是在代數和幾何類型題中均含有函數思想，因此在解題過程中，靈活合理地運用函數構造，可將抽象問題具體化，繁雜問題簡單化，從而達到解題的目的.同時在函數構造轉化過程中，充分地發散學生的思維能力，并逐步培養他們對問題解答的創造性思維.

例1已知a，b，c∈（0，1），求證a（1-b）+b（1-c）+ c（1-a）＜1.

分析：對于這道題的條件和結論都有一定的對稱性，如果直接證明，有一定的難度.但是采取構造法，那么這道題就能快速地得到解決.

證明：通過構造函數f（a）=（b+c-1）a+（bc-b-c+1）.

因為b，c∈（0，1），所以f（0）=bc-b-c+1=（b-1）（c-1）＞0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc＞0.

而f（a）是一次函數，它的圖像是一條直線，所以當a∈（0，1）時，恒有f（a）＞0，即（b+c-1）a+（bc-b-c+1）＞0，整理可得a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）＜1.

2.構造法在方程解題中的運用

方程構造在高中數學解題過程中也是最為常見的構造方法之一，對高中生來說并不陌生.在高中數學學習中，不難發現方程和函數直接有著十分密切的聯系，它們都是根據題型所給出的結構特征、數量關系，進行假設組成一個或者多個等量式子.能夠將抽象化的題型轉化為更加具體和簡單的問題，從而有效地提高學生解題的速度和質量.［2］

例2已知a、b、c為實數，且滿足a=6-b，c2=ab-9，求證a=b.

分析：從題型的已知條件來看，很難找到解題的突破口，但是通過方程構造，能夠迅速地找到解題的思路.

解：根據已知條件可以得出a+b=6，ab=c2+9，由此可以看得出來，a、b很像一元二次方程的兩個根，根據所學的韋達定理，構造方程t2-6t+（c2+9）=0，因為Δ=（-6）2-4（c2+9）≥0，即36-4c2-36=-4c2≥0，所以c2≤0.又因為c是實數，所以c2≥0，所以a=b.

3.構造法在向量解題中的運用

向量作為高中數學教學內容的重點部分，同時也是數學解題中運用十分廣泛的知識點.對于一些難以理解的題目，通過構造向量能夠快速地找到解題思路，這樣一來，既能節省大量的解題時間，又能進一步地提高解題效率.特別是對于一些較為復雜的不等式結構，比如a1a2+b1b2，可以運用向量的數量積來表示，將原不等式適當地轉變形式，從而為不等式的證明提供新的解決方法.

分析：對于這道題的證明，我們可以將要證明的左邊進行適當的轉變，這樣正好符合a1a2+b1b2+c1c2的結構，因此，我們可以采取向量的數量積來表示，并利用x·y≤|x||y|的性質，就能輕而易舉地證明此不等式.

三、結束語

學習數學需要具有嚴密的邏輯性和較強的思維性，是高中學生所要掌握的基礎學科.眾所周知，高中是學習任務最重，同時也是學習壓力最大的時期，在高中階段安排的眾多課程中，數學一直都比較難以被學生掌握，從而導致部分學生對數學逐漸喪失信心甚至失去學習數學的積極性.所以，這就要求數學老師在講解數學習題的過程中，要適時運用構造法，發揮構造法的效用，根據分析題型得出的假設條件和結論，從不同角度采取新的教學觀念進行觀察與分析，理清解題思路，并按照題型的問題和條件，多去尋找適合解答此題的構造方法，從而有效地減少高中生在數學解題學習上的時間，并對提高學生的抽象能力和邏輯思維能力有一定的幫助.綜上所述，構造法在高中數學解題教學中具有十分重要的意義.F