“一題多解、小題大做”鍛煉思維品質

☉江蘇省平潮高級中學保正玉

“一題多解、小題大做”鍛煉思維品質

☉江蘇省平潮高級中學保正玉

“小題大做”，是我們平時在解題訓練中要養成的一個習慣.“小題”不僅僅是指填空、選擇這類小巧靈活的客觀性題型，也指比較容易掌握和解決的題；“大做”則是對這樣的“小題”一定要重視，“小題”是學習和掌握基礎知識與基本技能的極好載體，通過解剖“小題”，更有利于掌握基礎，也是攻克大題目、難題目必不可少的階梯.本文試圖從一題多解和一題多變兩個方面“小題大做”，以期對讀者有所幫助.

小題：不等式x2+（m-1）x+1≥0對一切x∈（0，2］都成立，則m的取值范圍是_________.

本題為含參一元二次不等式在給定區間上恒成立問題.此類問題是不等式的重要題型，也是我們經常會遇到問題，由于其中既含有參數又含有變量，能有效考查同學們分析問題、解決問題的能力.

一題多解，織“法”成網，串“解”成鏈，“小題”大做，借題發揮，既可以培養我們的發散思維能力，又可以提高我們的創新能力.

一、從集合的角度切入

思路導航1：若不等式f（x，m）＞0的解集為B，對任意x∈A，則不等式f（x，m）＞0?A?B.

解法1：若判別式Δ=（m-1）2-4≤0，即-1≤m≤3時，不等式x2+（m-1）x+1≥0對一切x∈（0，2］都成立.

若Δ=（m-1）2-4＞0，即m＜-1或m＞3時，不等式x2+（m-使不等式x2+（m-1）x+1≥0對一切x∈（0，2］都成立，只需（0，2］?

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：分判別式Δ≤0和Δ＞0兩種情況討論，不等式ax2+bx+c＞0對任意實數x恒成

二、從方程的思想切入

思路導航2：不等式x2+（m-1）x+1≥0對一切x∈（0，2］都成立?方程f（x）=x2+（m-1）x+1=0無實根、兩等根、兩不等根小于或等于0、兩不等根大于或等于2.

解法2：若方程無實根，則判別式小于0，即（m-1）2-4＜0，解得-1＜m＜3.

若方程有兩個相等實根，則判別式等于0，即（m-1）2-4=0，解得m=-1或m=3.

若方程有兩個不相等實根，且兩根大于或等于2，則

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：充分借助圖像，利用二次函數、二次方程和二次不等式三者之間的關系，是求解的關鍵.

三、從函數的思想切入

思路導航3：運用函數思想將不等式恒成立問題轉化為求函數最值，是處理此類問題的重要方法.f（x）=x2+（m-1）x+1，則f（x）≥0對一切x∈（0，2］都成立?f（x）在x∈（0，2］上有［f（x）］min≥0.

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：f（x，m）≥0對x∈A恒成立?［f（x，m）］min≥0；f（x，m）≤0對x∈A恒成立?［f（x，m）］max≤0.對于較復雜的函數最值問題?？梢越柚鷮捣ㄇ蠼?

四、從數形結合的思想切入

思路導航4：如果不等式中涉及的函數、代數式對應的圖像、圖形較易畫出時，可通過圖像、圖形的位置關系建立不等式求得參數范圍.f（x，m）＞g（x，m）對x∈A恒成立?對x∈A，函數y=f（x，m）的圖像恒在函數y=g（x，m）的圖像的上方.

解法4：不等式x2+（m-1）x+1≥0對x∈（0，2］恒成立?不等式x2+1≥（1-m）x對x∈（0，2］恒成立，在同一坐標系內作出函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）與f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像，則由題意知，函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像與函數f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像相切或函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像恒在函數f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像的上方.

當1-m≤0，即m≥1時，函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像顯然恒在函數f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像的上方；

當1-m＞0，即m＜1時，若函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像與函數f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像相切，則x2+1=（1-m）x，即x2+（m-1）x+1=0的判別式Δ=（m-1）2-4=0，所以m=-1，此時x=1∈（0，2］，所以m=-1時，函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像與函數f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像相切，易知切點的坐標為（1，2）；若函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像在函數f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）圖像的上方，當且僅當2＞f2（1），即2＞1-m，所以m＞-1，所以-1＜m＜1時，函數f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像在函數f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）圖像的上方.

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.數形結合思想通過“以形助數，以數輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.利用此方法從幾何的角度解不等式恒成立問題，關鍵是解讀不等式所表示的幾何意義.

五、從分離參數的思想切入

思路導航5：若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解.運用不等式的相關知識不難推出如下結論：若對于x取值范圍內的任何一個數都有f（x）＞g（a）恒成立，則g（a）＜f（x）min；若對于x取值范圍內的任何一個數，都有f（x）＜g（a）恒成立，則g（a）＞f（x）max.（其中f（x）max和f（x）min分別為f（x）的最大值和最小值.

解法5：不等式x2+（m-1）x+1≥0對一切x∈（0，2］都g（x）在（0，1］上是增函數，在［1，2］上是減函數，

所以［g（x）］max=g（1）=-1，又不等式x2+（m-1）x+1≥0對一切x∈（0，2］都成立?m≥［g（x）］max，所以m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：分離參數法實際就是函數思想的應用，即通過分離得到形如m≤f（x）或m≥f（x）的不等式，從而將不等式恒成立問題通過求函數的最值來解答（變形的目的）.

綜上，以上典型例題所給出的解法和分析點評就是處理恒成立問題的“基本方法”.如果在數學學習和解題教學中，引導學生如此展開思考，指導學生如法進行解題實踐，那么經過長期訓練，就能使學生在潛移默化中養成一種分析思考與歸納總結的習慣.最終，當學生獨立面對一類新的恒成立問題的研究對象時，就不會感到無從下手.G