山窮水復疑無路，柳暗花明又一村
——例談參數方程在高中數學中的運用

☉江蘇省宜興中學歐賀宏

山窮水復疑無路，柳暗花明又一村
——例談參數方程在高中數學中的運用

☉江蘇省宜興中學歐賀宏

參數方程是曲線上點的位置的另一種表達形式，它把曲線上的點的橫、縱坐標分別通過參數直接表示出來，比較清楚地指出了曲線上的點的坐標特征.在處理解析幾何問題時，恰當使用參數方程，把許多相關量統一放在一個參數下，就能起到減少變量、簡化結構、優化運算的作用.筆者結合自己的教學實踐，以詳實的例證、深入的分析，談談參數方程在解題中的應用.

一、橢圓參數方程在高中數學中的運用

大綱對橢圓的參數方程的要求是理解層次，如果適當地引進一點簡單的參數方程知識，可以起到拓寬視野，簡化平面解析幾何的運算的功效.

特別地，以點（x0，y0）為圓心，半徑是r的橢圓的參數

1.利用參數方程求內接多邊形的周長及面積的最值

圖1

S=4|FA|×|EA|=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，當且僅

2.利用參數方程求軌跡問題

解：由題意，知B（0，9），設A（12cosα，6sinα），并且設點M（x，y），

3.利用參數方程求式子的最值

分析：由于研究二元函數x+2y相對困難，因此有必要消元，但由x，y滿足的方示出來的x或y，會出現無理式，這對進一步求函數最值依然不夠簡潔，能否有其他途徑把二元函數x+2y轉化為一元函數呢？方法是利用橢圓的參數方入x+2y中，即可轉化為以θ為變量的一元函數.

分析：若用常規方法求解，涉及A，B兩點和線段的中點M的坐標等多個參變量，頭緒繁多，需要不斷進行思維轉移.若引入參數，就可以減少變量個數，簡化運算.

解：根據橢圓參數方程，設A（3cosθ，2sinθ），B（3cosφ，2sinφ），P（m，0）.

由線段垂直平分線的性質可知，|PA|2=|PB|2.

于是（m-3cosθ）2+（2sinθ）2=（m-3cosφ）2+（2sinφ）2，

展開整理得5（cos2θ-cos2φ）=6m（cosθ-cosφ）.

又因為AB的垂直平分線與x軸相交，

故AB與y軸不平行，故cosθ≠cosφ，

4.利用參數方程求參數范圍問題

例4已知橢

由此可見，在解題時，引入橢圓參數方程，不但可以使解題簡化，通俗易懂，思路清晰，而且有利于啟發學生思維意識，開拓學生的思維視野，全方位地培養學生探求問題，并能解決問題.

二、直線參數方程在高中數學中的運用

分析：由于該題結論中涉及的PM、PN均可看成直線上動點到定點的距離，因此該題可以設出直線PM、PN的參數方程，使問題迎刃而解.

例5過點數），代入曲線方程并整理得設M、N對應的參數分別為t1、t2，而由參數t的幾何意義得|PM|=t ，|PN|=t，

利用直線參數方程中的參數t的幾何意義，處理兩線段長度的積、和、差以及平方和等問題時有著普通方程無可比擬的優越性，可使求解過程變得簡潔易算.

三、圓的參數方程在高中數學中的運用

例6若圓x2+（y-a）2=4與拋物線x2=2y有公共點，求實數a的范圍.

由于二次曲線中的變量受到取值范圍條件約束，涉及幾條二次曲線公共點問題，使用參數方程往往比較嚴密、簡捷.

幾條二次曲線有公共點的問題，也可以采用聯立方程組的方法來求解，但其中許多關系不是充要條件，很容易出現錯誤.此題若使用數形結合的方法也是非常困難的.此類問題使用參數方程，將問題轉化為三角函數問題，利用三角函數的有界性能使得解答嚴密而又簡捷.

四、綜合使用有關參數解決有關問題

例7P（x0，y0）（x0≠±a）是雙曲線

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足O—→C=λO—→A+O—→B，求λ的值.

本題第一問求出雙曲線的離心率從而尋找到字母a、b、c的關系，為第二問求λ的值做鋪墊；第二問再利用A、B、C均在雙曲線上，建立含有λ的方程式，化簡后求出來.關鍵是利用整體思想設而不求，消去x1、y1、x2、y2、x3、y3等有關相伴變量，以達到化簡之目的.

由此可知，參數方程是解決具體數學問題的一個重要方法.利用參數方程或引進參數主要借助于正、余弦和正切，將多個變元統一變量，即所設的參數，使得問題化繁為簡、思路清晰、利于計算求值、易于掌握.歷年高考都把解析幾何作為一個極為重要的知識考查點，參數方法的應用在高考中也極為廣泛.G