發揮教材功效引領知識生長
——一道課本習題的變式探究

☉浙江省嵊州市崇仁中學黃波平

發揮教材功效引領知識生長
——一道課本習題的變式探究

☉浙江省嵊州市崇仁中學黃波平

課本中的例、習題是高考命題的重要來源之一，每年的高考卷有不少試題是源于課本的，平時教學中不愿意挖掘教材中的習題，一味地在課外資料中挖洞，造成學生雙基不牢.這啟示我們平時復習要將回歸課本落到實處.數學課本是數學知識、思想和方法的重要載體，又是教師和學生學習的主要依據，更是幾代人智慧的結晶，具有較強的權威性、指導性、規范性.因此，高考命題高度關注課本在命題中的作用，充分發揮課本作為試題的來源功能.

分析：本題是“極坐標系與參數方程”中的一道練習題，借助曲線的參數方程可順利解答.

解答本題也可借助解析幾何問題的通法求解.

解法2：設M（m，n），B1（0，-b），B2（0，b），則直線MB1

點評：幾何問題坐標化是處理圓錐曲線問題的重要途徑，通過引入點的坐標、借助平面向量的計算，將幾何問題轉化為代數問題，從而使問題順利求解.

一、改變問題的條件

例2如圖1，已知橢D（0，-2）的直線l交橢圓于A、B兩點，交x軸于點P，點A關于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于點Q.

圖1

（1）求橢圓的標準方程.

點評：本題將兩個對稱點的條件一般化，在解題過程中可將直線與橢圓方程聯立，借助根與系數的關系整體求解.但要注意定值存在的條件，即k的范圍.

二、變化所求結論

（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；

圖2

（2）記點A關于x軸的對稱點為B，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

（2）由題意知，B（m，-n），所以把點M坐標中的n換成-n，即得N設滿足條件的點Q（0，t）（t≠0），由條件∠OQM=∠ONQ，得Rt△ONQ∽Rt△OQM，所以OQ2=OM·ON，即t2=；再由+n2=1，得t2=2.故存在滿足題設條件的點Q的坐標為）或

點評：本題是例1和例2的拓展，本質上是選用兩角的正切構建角相等的代數條件，但是題目中涉及兩個相似的直角三角形，可以直接按比例建構對應的代數條件，更顯簡單直觀.

三、改變問題的背景

（Ⅰ）當k=0時，分別求出曲線C在點M、N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

圖3

點評：識別出題設條件∠OPM=∠OPN的本質是兩條直線關于x軸對稱.本題也可以按照斜率直接求出目標點：設所求點P（0，t），由k+k=0，得0，即PMPN2k+（a-t）·將根與系數的關系代入轉化為2k+=0，即t=-a，故所求點為P（0，-a）.

“課本”是教與學的“根本”，高考作為選拔人才的考試，必然要以這個“根本”為依據，所以在平時的解題訓練中應以課本為基礎，在歸納課本的思想和方法的基礎上，“拔高”課本，“變通”課本，使課本知識和思想方法得到升華.要做透課本中的典型例題和習題，要善于用聯系的觀點研究課本中的例題和習題，善于在高考題中尋找課本題的原型，在課本中尋找高考題的“身影”，探索高考試題與課本題目的交匯點，再將這些問題做恰當延伸或拓展，努力使課本知識更加豐富鮮活.F