構造法在高中數學圓錐曲線解題中的巧妙運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學程建剛

構造法在高中數學圓錐曲線解題中的巧妙運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學程建剛

隨著經濟的發展和科學技術的進步，社會各領域對人才的競爭越發激烈.為了培養新時代優秀人才，教育教學的研究勢在必行.由于數學知識在現實生活中的應用逐漸加大，而圓錐曲線部分在高中數學的知識地位不可替代，并且構造法是教師進行數學教學的一種重要的思想方法，因此，運用構造法來解決圓錐曲線問題具有重要的意義.下面，本文將探析構造法在高中數學圓錐曲線解題中的應用.

一、構造圖形法

在解決一些數學問題時，由于不能直接從已知的數據中得出答案，而可以根據題中給出的已知條件或結論構造出相關的圖形來獲得結果，這樣的方法就是構造圖形法.［1］教師運用這種方法教學，可以充分利用圖形的直觀性特點，將形象思維與邏輯思維緊密結合在一起，讓學生盡快地進入到題目情景中去，并最終解決問題.

例1設F1、F2分別是橢圓的兩個焦點，若在此橢圓上存在一點P使∠F1PF2=90°，求離心率e的范圍.

解法1：點P在以F1F2為直徑的圓上，又點P在橢圓上，固有c≥b.

點評：通過兩種方法對比，我們不難發現，解法1是從幾何角度來研究問題的，就是最大限度地利用圖形條件.運用這樣的構造方法，往往能夠省去很多不必要的運算.

例2一炮彈在A處的東偏北60°的某處爆炸，在A處測到爆炸信號的時間比B處早4秒，已知A在B的正東方，相距6千米，P為爆炸地點，該信號的傳播速度為每秒1千米，求A、P兩地的距離.

分析：利用構造圖形的方法，先判斷出P點的軌跡為雙曲線右支上的一點，然后通過P在A的東偏北60°方向，求出P點的坐標，再根據兩點間的距離公式便能求出A、P兩地的距離.

解：如圖1，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則A（3，0），B（-3，0）.

圖1

點評：通過構造出題目中所需要的圖形，可以很直觀地面對問題，從而較快地找出解決辦法，免去了許多的麻煩，提高了解題效率.

二、構造命題法

該方法主要用于在論證某些命題而感到沒有直接依據或比較困難時，以此來解決問題.中心軌跡關于點M（-1，1）對稱圖形的軌跡方程.

引用命題：已知曲線方程f（x，y），則它關于點M（x0，y0）對稱的曲線方程是f（2x0-x，2y0-y）=0.（證明略）

解析：設橢圓中心為（x，y），根據題意，有x=2t，y=-t2.

消去參數得橢圓中心軌跡方程為f（x，y）=x2+4y=0.

由上可知，它關于M（-1，1）對稱圖形的軌跡方程為f（-2-x，2-y）=0，即（-2-x）2+4（2-y）=0，化為（x+2）2=4（2-y），即為所求的軌跡方程.

點評：由于題中沒有直接給出曲線方程關于一個點對稱的方程式，采用這種構造法，可以很快地打開解題思路，最終解決問題.

例3設橢圓方點P1、P2，求線段P1P2的中點P的軌跡方程.

引用命題：過定點P（x0，y0）的動直線l與二次曲線C：F（x，y）=0相交弦的中點軌跡方程是F（x，y）=F′（x0，y0）.（證明略）

點評：該題如上題一樣，都可使用構造命題的方法來解決.

三、構造方程法

構造方程法，就是根據問題的結構特征及其數量關系，挖掘潛在的已知和未知因素，從而構造出方程，使問題能夠巧妙地解答出來.

例5已知△ABC的頂點A、B在橢圓x2+3y2=4上，頂點C在直線l：y=x+2上，且AB∥l.求：

（1）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；

（2）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程.

分析：本題要準確把握好直線l的位置，將題中的幾何信息轉化為代數方程法，將幾何問題變成解方程問題，能夠使問題簡單化，有利于快速地得出答案.［2］

解：（1）因為AB∥l，且AB通過原點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x.

設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）.

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11.

所以，當m=-1時，AC邊最長（這時Δ=52＞0），此時AB所在直線方程為y=x-1.

例6已知拋物線C1：y=x2+2x和拋物線C2：y=-x2+a，當a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線，寫出公切線的方程.

四、構造函數法

從初中我們就開始接觸函數，對于函數的性質和特點等都有了比較深刻的了解.選擇用最熟悉的方式來解決圓錐曲線問題，必然是一種不錯的選擇.

例7已知圓C1:x2+（y-2）2=1，直線l:y=-1，有一動圓C與C1外切，且與直線l相切.

（1）求動圓圓心C的軌跡M的方程；

（2）直線l與軌跡M在第一象限相切，其切點為P，直線l的斜率為k，過點P作直線l的垂線恰好經過點A（0，6），并與軌跡M相交于點Q（P與Q不重合），設S為△POQ（O為坐標原點）的面積，求S的值.

因為點P在第一象限，所以x0=4，點P的坐標為（4，2），直線PQ的方程為x+y-6=0.

點評：該題第（1）問中，主要通過判斷圓C的位置，來進一步確定y+1＞0；第（2）問，主要運用了構造導數函數的方法，利用切點處的導數為直線的斜率得出直線方程，后通過已知點求出切點坐標.

五、構造不等式關系

在圓錐曲線解析中，構造不等式關系主要是針對求值范圍問題.［3］在解題過程中要充分理解已知條件，挖掘其隱含條件來構造不等式.

分析：在本題中，絕大多數同學由于對題目的整體把握不夠，以至于做到一半無法繼續進行.其實，該取值范圍可通過構造關于所求量的不等式關系來獲取.構造不等式首先要考慮判別式——由判別式值的非負性可以很快確定k的取值范圍.

點評：對于范圍問題，還可以用其他途徑來建立不等關系，比如函數的性質法、均值不等式法等.本題采取構建判別式不等關系法，使得解題思路清晰明了，避免了解題方式冗雜，提高了解題效率.

六、總結

在解決圓錐曲線問題時，我們首先要大致辨識題目所要考查的知識點，以便與已掌握的知識建立聯系，從而根據已有的知識經驗進行求解，這在一定程度上減少了盲目解題的可能性.接下來就是選取合適的解決方法：問題的解決有多種方式.但是，在這里，運用構造法的解題方式，就是要改變解題過程中的呆板模式，善于找到數與形、數與量、數與方程等之間的內在聯系，開闊思維，用多元化的方法來處理解決圓錐曲線問題.

1.莊豐.圓錐曲線問題中減少運算量的利器——構造法［J］.中小學數學（高中版），2015（10）.

2.高小山，蔣鯤.用圓錐曲線求解幾何約束問題［J］.中國圖象圖形學報，2001（6）.

3.李學武，丁玉民.構造法解圓錐曲線中的范圍問題［J］.數理化學習（高中版），2007（Z1）.F