特殊值法，高中數學解題的一劑良方

☉江蘇省梁豐高級中學苗學雷

特殊值法，高中數學解題的一劑良方

☉江蘇省梁豐高級中學苗學雷

特殊值法在數學解題中運用比較廣泛，它是一種通過個性分析來解決實際問題的一種思維方式.隨著課程改革的深入，老師要想豐富整改自己的數學課堂，就要引用多種手段以更多的方式來美化課堂，升華教育.特殊值法可以幫助學生開拓解題思路，讓他們通過特殊點發現平時正常思維所見不到解題途徑.這是一種一旦利用上就會將題目變得極為簡單的解題思維，能夠極大地提高學生的解題速度；特殊值法是解決數學難題的一把利器，老師要在課堂上教導學生如何利用好這把利刃，用利器為解決數學題謀求最大的便捷.筆者具有多年數學教學經驗，就如何教導學生利用特殊值法解題具有一定的研究.下面就此談幾點看法，希望對學生和同樣工作在教育一線的教師有所幫助.

一、特殊角度，合理變換

特殊值法的應用極為廣泛，尤其是涉及某些特定值時，如果學生把握的好，經常會收到意想不到的效果，大大加快解題的速度.在一些角度的證明或者求解的題目中，特殊值法能夠使問題變得簡單易解.高中數學中與角度相關的題目類型也很多，涉及的數學思想更是數不勝數，所以學生要明確每一種數學思想的使用方式及適用范圍.而特殊值法往往是讓題目的求解過程變得簡易，經常會起到簡化過程的作用.在下面這道題的解題中我們就能夠領悟到特殊值法的妙用.

點評：從整個解題過程來看，公式變化十分復雜，給不少學生帶來麻煩，一不小心跌入“死胡同”，在實際解題中，多數學生難以得出準確的結論；這里不妨考慮特殊值的方法，我們可以設A=B，即三角形為等腰銳角三角形.題中的關系得以簡化，計算過程相對簡單得多，學生出現錯誤的幾率較小，這就是特殊值法最大的好處，幫助學生減少計算壓力，并且準確率極高.其實特殊角度的應用，也離不開角度的變換公式.只有將所求進行合理的變換，才會使問題最簡單化.學生解決起來才會無往而不利，獲得最有效的解題方法.

二、函數構造，優化解題

構造法是高中數學解題的法寶之一，在各類題型中都可以隨機應用，達到化簡題目的作用.在高中數學不等式問題中，若能巧妙構造特殊函數，往往能夠收到“事半功倍”的效果.

這些特殊函數的構造需要學生自己努力去發現，進而形成新的思想迸發，出現完美的解題套路.

例2若-2≤a≤2時，不等式ax2-2x-a+1＜0恒成立，求x的取值范圍.

解析：將ax2-2x-a+1＜0變形為a（x2-1）-2x+1＜0.

當x=-1時，-2（-1）+1=3＞0，原不等式不成立；

當x=1時，-2×1+1=-1＜0，原不等式成立；

當x≠±1時，構造一次函數f（a）=（x2-1）a-2x+1，則

點評：本題解題關鍵在于根據問題特征構造特定的一次函數，將主元進行有效轉化，利用一次函數的性質輕松處理好問題，巧妙地避免了分類討論的繁雜性，優化了數學解題的過程，有助于學生思維品質的培養；同時也提醒我們數學教師在解題教學中，引導學生靈活運用所學數學知識和數學思想，為自己的解題謀求最大的便捷；當然，特殊函數的構造一定要滿足要求，學生切忌不可胡亂編造，那樣得出的結論肯定是錯誤的.

三、特殊檢驗，巧證命題

特殊值檢驗法通常被認為是快速解決數學選擇題的法寶，其實在一些函數證明題中特殊值檢驗法也屢見不鮮；在特殊值代入檢驗中發現解題的突破口，激發學生思維的靈感，獲取解題的捷徑.

例3已知函數f（x）=-x4+3ax+b且滿足函數y=f（x）

點評：本題的題設信息并不太多，若采取正面的直接探究函數的最值問題，難度可想而知，何況函數表達式中含有字母常數（a、b）給直接判斷函數最值的處理方式增添不小的障礙；這里可以選擇“正難則反”的方式進行處理，借助于特殊值代入進行檢驗，獲得假設與題設信息之間的矛盾，從而得以證明！題中特殊表達f（1）+ f（-1）-2f（0）=-2是解題的關鍵點和突破口；體現了特殊值法是有效的解題技巧和方法，也是數學知識方法的靈活應用.

四、特殊定位，化繁為簡

高中數學涉及的知識與規律比較廣泛，處理實際問題的方式和方法也是多樣化，在問題的解答中，多數人都是喜歡選取最常見、最基本的一般性處理方法，其實在處理比較復雜的“變化的量”問題中，采取特殊值的方法對變量進行定位，再結合數學思想方法進行處理，也不失是一種解決問題的好方法.

例4|α|=1，|β|=|β-α|對于每一個確定的β均使得：（γ-β）·（γ-α）=0，若|γ|的最大值為M，最小值為m，試求M-m的最小值.

圖1

點評：本題是關于向量計算與應用問題，其中涉及動態的變化量，常規手段處理感覺困難重重，運算復雜容易造成錯誤；上述解題中利用特殊值進行定位，充分利用數形結合的數學思想方法進行解題，使得抽象的數學運算形象化、直觀化、簡單化，便于學生掌握和理解.

總而言之，特殊值法是高中數學中最常見的解題方法，將題目特殊化，這是一種轉換的思維方式，筆者相信一定會比一般化起到更加重要的作用與效果；特殊化的解題策略，高中數學老師在教學中一定要時時滲透，只有學生掌握得好，解題速度才會有所提升，將來面對高考也會信心大增.F