讓高中數學“難題”越做越“簡單”

☉浙江省黃巖中學黃仙萍

讓高中數學“難題”越做越“簡單”

☉浙江省黃巖中學黃仙萍

在現行的高考模式下，高中數學在高考科目中占有重要的地位，這已經成為廣大教師和學生的共識.解題教學是高中數學教學中的重要組成部分，筆者在平時的高中數學教學中發現，部分學生對于考題給出的標準答案容易看懂，但是難于理解答案中為什么會采取如此巧妙的處理手段與方法，在自己處理數學問題時感覺困難重重，其實每道數學題解法的背后都蘊藏著豐富的數學思想方法，只要對數學難題進行深入的思考與分析，便能將“難題”做得“簡單”點！

一、思路受阻時轉換新思路，回歸起點，體現“簡單”

在高中數學解題中，“無章可循，無路可走”可稱為“難”題，當我們按照常規思想解決數學難題受阻時，不妨考慮采取“倒退”的思想，靈活轉換新思路，從最原始的數學概念、數學原理為起點進行分析與探究，反而會實現“有章可依，有路可走”，對于高中數學教師值得注意的是，在解題教學中應該盡可能地避免“演播式”的教學，只是滿足于將解題的每一步清晰地呈現給學生，忽視進行解法緣由的探索與分析，這對學生解題能力的提升成效不大.

分析：本例是一道高考試題中的一小問，部分學生接觸到題目時不知所措，將題設中給出的條件進行變化，始終不能把握住解題的要領，主要體現出數學概念與解題目標不清晰，解題的思路也比較混亂.其實本題只要回歸起點，從數列的概念出發進行處理：

二、洞悉命題意圖，借數學背景打開解題通道，體現“簡單”

隨著新課改的不斷深化，數學試題考查的形式也是推陳出新，命題專家們比較喜歡針對于數學文化背景中所蘊藏的問題進行加工，重新賦予新的內涵與意義，具有明顯的數學新意.掌握豐富的數學背景知識能夠有效實現從“生疏”到“熟悉”的轉變，消除學生遇到難題而畏懼的心理障礙，有助于獲取便捷的解題通道.

分析：根據題設提供的信息多數學生以角度為自變量，利用三角函數的有界性知識進行求解，運算量較大，計算繁雜，費時費力，效率不高.實際上命題者的意圖是引入“阿波羅尼斯圓”進行處理，了解這樣一個數學背景，該題就能夠有效地將三角問題解析化：構建直角坐標系xOy，如圖1所示，令A（-1，0），B（1，0），C（x，y），結合題意可得（x-3）2+y2=8，則動

圖1

在新課改背景下，高考數學命題考查倡導“多一點想，少一點算”的指導思想.本題中直接利用三角函數等知識也可以求解，但是與利用“阿氏圓”進行處理相比來說比較煩瑣點.其實數學背景包含：文化背景、生活背景、學科背景、圖形背景等等，可以說數學背景的有效揭示，為數學解題打開“一個通道，一扇窗”，讓解題變得簡便易行.

三、注重思維的靈活性，活用題設條件減少數學運算，體現“簡單”

數學解題實質上是根據題設條件，借助于合理的數學變形，實現條件與結論之間的關聯，達到預期的目標，在這一過程中涉及“等價轉化與非等價轉化、特殊與一般的轉化、數形結合”等數學思想，在實際問題處理過程中，常常遇到非常規的難題，這就需要學生發揮思維的靈活性；解析幾何是高中數學教學中的重點和難點，靈活運用題目中提供的已知條件，大大簡化解題過程，避免復雜的數學運算，提高解題效率.

分析：本例是根據高考真題改編而來，若采取代數方式進行處理，運算相當復雜，而且部分學生難以準確完成.若能緊扣題設中的已知條件，加以靈活運用，即可簡化解題過程，減少數學運算，提高解題的正確率.具體為：根

圖2

代入橢圓方程可得［（1+λ）x-λ］2+2（1+λ）2y2=2，［（1+ λ）x+1］2+2（1+λ）2y2=2λ2.綜合兩式簡化1，即動點M的軌跡為橢圓，且焦點坐標分別為（-1，0），

從上述解法中可以感覺到“簡捷利落”，關鍵是靈活運用題設中AF1∥BF2這樣一個條件，借助于向量的定比分點數學規律進行處理，采取待定系數法探討出動點M的軌跡.當然本題根據解決目標“MF1+MF2為定值”也可以聯想到點M軌跡可能為橢圓，在某種程度上明確了解題思路的大方向，有助于快捷、高效解題.可見，在解析幾何問題中，合理、巧妙地運用題設條件，表明感覺增加思維量，實際上大大減少運算量，正確率大大提升.這也提醒我們一線數學教師，在平時的課堂教學中，不斷引導學生進行歸類、分析、提煉、總結，讓學生成為學習的有心人，促進學生處理實際問題能力的提升.

四、堅持在反思中總結與聯想，實現解題方法的遷移，體現“簡單”

部分學生奉行的“一題一法，靈活多變”的思想導致形成“談數色變”的怪圈，主要原因是這部分學生在數學中不注重解題方法的歸類、反思和總結.這也提醒我們數學教師在平時的教學中應該引導學生善于追根究底，探尋數學知識與方法之間的聯系和規律，在反思中總結與聯想，逐步實現“一題多解、多解歸一、多題歸一”，達到解題方法的遷移，解題能力的提升.

分析：本題題設內容簡潔看似簡單，其實并不容易解決，根據題設信息和所求問題，學生傾向于利用“拼湊”的方法進行處理，成功解題主要取決于“硬”配湊的這種特殊情形下的配湊是行之有效的方法，但是相對多數常規思維的學生來說還是比較困難的！其實3，2α-β=-4，則α=-1，β=2！

這里使用的“待定系數法”是數學課本教材中常見的一種解題方法，幾乎每個學生都很熟悉，但是這種最常見的方法卻容易被忽視，主要是學生對這種方法本質認識不到位，缺乏由“線性系數形式”向“冪結構形式”的聯想意識，缺乏數學解題方法的遷移能力！

總之，對于高中學生而言，解題能力強通常是數學學得好的重要體現，但是數學教學并不僅僅是解題教學，學生也不是機械的、被動的“數學解題匠”.作為一線的高中數學教師，應該著眼于學生數學綜合素養的提升，合理構建自主合作、輕松愉悅的情境，讓學生感悟數學的魅力，自覺成為數學學習的研究者和受益者；在具體實施的習題教學中，盡可能地引導學生展示數學解題的思維過程，在清楚“如何做”的基礎之上，更加要理解“為何這樣做”，讓學生感悟解題的思維過程，避免機械、盲目地生搬硬套數學公式；注重引導學生“察言觀色”，進行合理的聯想與思考，探尋多角度解決問題的途徑，學會“舉一反三、觸類旁通”，培養學生發散思維能力，讓學生在不斷的總結反思中，真正達到“熟能生悟、悟中生巧、巧而創新”的理想境界.G