具有隨機(jī)擾動(dòng)的三種群系統(tǒng)的正解

李海紅，李海霞，呂玉姝

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林長(zhǎng)春 130024；2.長(zhǎng)春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130024；

3.空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長(zhǎng)春 130024)

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具有隨機(jī)擾動(dòng)的三種群系統(tǒng)的正解

李海紅1，李海霞2，呂玉姝3

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林長(zhǎng)春 130024；2.長(zhǎng)春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130024；

3.空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長(zhǎng)春 130024)

[摘要]本文旨在研究三種群系統(tǒng)受白噪聲擾動(dòng)問(wèn)題，利用構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法，證明該類系統(tǒng)正解的存在唯一性.

[關(guān)鍵詞]Lyapunov函數(shù)；伊藤公式；三種群系統(tǒng)；存在唯一性

捕食與被捕食[1]現(xiàn)象在自然界中廣泛存在，也是構(gòu)成整個(gè)生物群落[2]的最基本關(guān)系之一，而食物鏈就是它構(gòu)成的一種種群關(guān)系.食物鏈?zhǔn)巧鷳B(tài)系統(tǒng)中貯存于有機(jī)物中的化學(xué)能在生態(tài)系統(tǒng)中層層傳導(dǎo)的過(guò)程，它是英國(guó)動(dòng)物學(xué)家埃爾頓(C.S.Eiton)于1927年首次提出的.

我們研究的模型的特點(diǎn)為：第三個(gè)物種是第二個(gè)物種的捕食者，第二個(gè)捕食者是第一個(gè)物種的捕食者.受擾動(dòng)的三種群的食物鏈系統(tǒng)可以用下式來(lái)表示：

(1)

這里我們主要采用類似文獻(xiàn)[3]中的證明方法得到系統(tǒng)(1)全局正解的存在唯一性.

P{τk≤T}≥ε.

(2)

V(x1，x2，x3)=b32[b21(x1-1-logx1)+b12(x2-1-logx2)]+b23b12(x3-1-logx3).

顯然當(dāng)u>0時(shí)，u-1-logu≥0，由此可知函數(shù)V是非負(fù)的.由伊藤公式可得

所有參與研究的對(duì)象均進(jìn)行CT、MRI以及聯(lián)合診斷，確診后1～2周內(nèi)實(shí)施手術(shù)治療，對(duì)照分析影像學(xué)診斷結(jié)果與手術(shù)病理檢查結(jié)果。

dV=LVdt+b32b21σ1(x1-1)dB1(t)+b32b12σ2(x2-1)dB2(t)+b23b12σ3(x3-1)dB3(t).

其中

LV=b32b21(x1-1)(a1-b11x1(t)-b12x2(t))+b32b12(x2-1)(-a2+b21x1(t)-b22x2(t)-b23x2(t))

對(duì)上式兩端取期望可得

(3)

此處以及下文中，E(f)表示f的數(shù)學(xué)期望.

V(x(τk，ω))≥k-1-log(k)∧k-1-1+log(k).

于是，由(3)式可得

其中，1Ωk表示Ωk的特征函數(shù).

令k→∞則產(chǎn)生矛盾.因此，τ∞=∞=a.s.

注1定理1表明當(dāng)有隨機(jī)擾動(dòng)的三種群系統(tǒng)(1)存在唯一的全局正解.不管白噪聲的強(qiáng)度σi(i=1,2,3)有多大，具有隨機(jī)擾動(dòng)的三種群系統(tǒng)(1)也存在唯一的全局正解.

[參考文獻(xiàn)]

[1]高芳.帶有食餌避難的Leslie-Gower捕食者—食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及最優(yōu)稅收[J].東北師大學(xué)報(bào),2014(2):1-8.

[2]B.S.Goh.Global stability in many species system[J].Amer.Nat,1997(111):135-143.

[3]D.Q.Jiang,C.Y.Ji,X.Y.Li.Analysis of autonomous Lotka-Volterra competition systems with random perturbation[J].J.Math.Anal.Appl.,2012(390):582-595.

[4]D.Q.Jiang,B.X.Zhang.Existence uniqueness and global attractivity of positive solutions and MLE of the parametres to the logistic equation with random perturbation[J].Science in China,2007(7):977-986.

[5]A.Gray,D.Greenhalgh,Hu.L.A stochastic differential equation SIS epidemic model[J].SIAM,2011(71):876-902.

The Positive Solution of a Three Species System with Random Perturbation

LI Hai-hong1,LI Hai-xia2,LV Yu-shu3

(1.Department of Basic Science, Jilin Jianzhu University, Changchun Jilin 130024,China;2.School of Business, Changchun Guanghua University,Changchun Jilin 130024,China;3.Basic Department, Aviation University of Air Force, Changchun Jilin 130024,China)

Abstract:In this paper, we analyze a three species system with stochastic disturbation, by the constructing Lyapunov function method, the unique positive solution of the system is proved.

Key words:Lyapunov function; Ito formula; three species system; existence and uniqueness

[中圖分類號(hào)]O175

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-7602(2016)04-0001-03

[作者簡(jiǎn)介]李海紅(1983- )，女，講師，博士，從事微分方程研究。

[收稿日期]2016-02-13