解析函數泰勒展開的一種新方法

劉燈明

(湖南科技大學數學與計算科學學院，湖南湘潭 411201)

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解析函數泰勒展開的一種新方法

劉燈明

(湖南科技大學數學與計算科學學院，湖南湘潭 411201)

[摘要]解析函數的泰勒展開是復變函數論中的一個重要內容，利用線性常微分方程的冪級數解，可以簡潔地求得一些復雜解析函數的泰勒展式。

[關鍵詞]解析函數；泰勒展開；常微分方程冪級數解

解析函數的泰勒展開是復變函數論課程中的一個重要知識點，內容靈活多變，學生較難掌握.要求解析函數f(z)在z=z0點的泰勒展開式，可由泰勒定理直接求解，即從已知的f(z)，求出fn(z0)，從而求出泰勒系數.但很多時候，任意階導數的計算比較復雜，甚至無法進行.大部分情況下，需要根據泰勒展式的唯一性，利用已知的泰勒展式(如ez、sinz、cosz、ln(1+z)、(1+z)a等常見初等函數的泰勒展式)，經過一定的處理(如變量代換、部分分式、級數的乘除運算、逐項求導或求積等)之后，求得f(z)的泰勒展開[1].本文從另外一個角度，即利用線性常微分方程的冪級數解來對一些復雜解析函數的泰勒展開式進行討論.

1利用常微分方程的級數解求泰勒展式的理論依據

定義1如果方程

(1)

的系數p(z)在點z0及其鄰域內是解析的，則點z0稱為方程(1)的常點.若p(z)在點z0不解析，則稱z0為方程(1)的奇點.

定義2如果方程

(2)

的系數p(z)和q(z)都在點z0及其鄰域內是解析的，則點z0稱為方程(2)的常點.若系數p(z)或q(z)在點z0不是解析的，則稱點z0為方程(2)的奇點.

定理1如果p(z)在圓|z-z0|

f(z0)=a0，a0為任意常數.

(3)

且f(z)在此圓內是解析的.

證明作函數序列

(4)

n=0，1，2，….由于該函數序列中的被積函數是解析的，故(4)為解析函數序列.因此，積分值與積分路徑的選取無關.不妨選取積分路徑為過點z及z0的直線，且為了方便，假設z0=0.接下來，令

z=ρeiθ，0≤ρ≤R1

則有

注意到p(z)在圓|z-z0|

|f1(z)-f0(z)|≤|a0|Mρ.

進一步

重復上述步驟，由數學歸納法，可以證明

可見，上述不等式的右邊為指數函數|a0|eMρ泰勒展開的普通項，因此，序列

fn+1(z)=f0(z)+(f1(z)-f0(z))+…+(fn+1(z)-fn(z)).

在|z|≤R1內一致收斂.進一步，由魏爾斯特拉斯定理，該序列的極限函數f(z)是|z|

另一方面

顯然，f(z)滿足方程(1)及初始條件(3).這樣就證明了|z-z0|

下面再證唯一性.假設g(z)為方程(1)在初始條件(3)下的另一解析解，則容易證明：存在正數A，使得

上式兩邊關于n→∞取極限，得|f(z)-g(z)|≡0，即f(z)≡g(z).

由定理1，可以把f(z)在z0點的鄰域|z-z0|

(5)

顯然，(z-z0)0的系數a0正好和初值條件(3)一致.而(z-z0)n的系數an(n=1，2，3，…)均可由a0表出.事實上，只需將級數解(5)代入到微分方程(1)，比較兩端同次冪的系數即可.

類似于定理1的討論，則有

定理2如果p(z)、q(z)在圓|z-z0|

f(z0)=a0，f′(z0)=a1，a0和a1為任意常數.

(6)

且f(z)在此圓內是解析的.

由定理2，可以把f(z)在z0點的鄰域|z-z0|

2利用常微分方程的級數解求泰勒展式

例求函數f(z)=arctanhz在z=0鄰域內的泰勒展式.

解一容易驗證f(z)=arctanhz滿足如下一階線性常微分方程

(7)

且z=0是方程的常點，故在z=0的鄰域內應有泰勒級數形式的解.不妨設其泰勒級數解為

(8)

并知

將(8)代入方程(7)可得

即

比較等式兩端同次冪的系數，得到

z0的系數：a1-1=0，即a1=1；

z1的系數：a2=0；

…………

由此可遞推出

所以

解二容易驗證f(z)=arctanhz滿足如下二階線性常微分方程

(9)

且z=0是方程的常點，故在z=0的鄰域內f(z)可展開成形如(8)式的泰勒級數，并知

將(8)代入方程(9)可得

比較等式兩端同次冪的系數，得

z0的系數：2a2=0，即a2=0；

z2的系數：12a4-4a2=0，推出a4=0；

…………

zl-1的系數(l≥4)：(l-2)(l-3)al-2-2l(l-1)al+(l+2)(l+1)al+2=0.

由此容易看出，若l=2n，則a2n=0；另一方面，若l=2n+1，則可用數學歸納法證明

所以

綜上所述，我們不難發現，利用常微分方程的冪級數解來對解析函數進行泰勒展開，只需將冪級數解代入到解析函數所滿足的微分方程(一階或二階)進行確定，然后比較系數，就可方便、快捷地得到該解析函數的泰勒展式.

[參考文獻]

[1]鐘玉泉.復變函數學習指導書[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]鐘玉泉.復變函數論[M].北京:高等教育出版社,2012.

[4]吳崇試.數學物理方法[M].北京:北京出版社,2015.

A New Approach for Taylor Expansion of Analytic Function

LIU Deng-ming

(School of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Technology,Xiangtan Hunan 411201, China)

Abstract:Taylor expansion is one of the most important contents of Complex analysis. By using the series solution of the linear ordinary differential equations, Taylor expansions of some complicated analytic functions are obtained.

Key words:analytic function; Taylor expansion; series solution of the linear ordinary differential equations

[中圖分類號]O173.1

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)04-0004-04

[作者簡介]劉燈明(1984- )，男，講師，博士，從事非線性偏微分方程研究。

[基金項目]湖南省教育廳資助科研項目“退化拋物方程的非完全爆破與多重爆破研究”(14B067)；2015年湖南科技大學教學研究與改革一般項目“信計專業《數學分析》課程的教學研究與實踐”(G31515)。

[收稿日期]2016-01-22