平面解析幾何復(fù)習(xí)策略

●龔　鳳　胡建烽　(余姚中學(xué)　浙江寧波　315400)

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平面解析幾何復(fù)習(xí)策略

●龔鳳胡建烽(余姚中學(xué)浙江寧波315400)

1　內(nèi)容簡(jiǎn)析

平面解析幾何是利用點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)和曲線與方程的一一對(duì)應(yīng)來(lái)實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題或用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題的一門學(xué)科．解析幾何的本質(zhì)決定了我們要關(guān)注曲線的定義、方程以及曲線的性質(zhì)．高中數(shù)學(xué)主要研究的曲線有直線、圓與圓錐曲線．從曲線的定義看，圓的定義有定點(diǎn)定長(zhǎng)定義、距離之比定義等;圓錐曲線的定義有距離和(差)定義、斜率之積定義和焦點(diǎn)準(zhǔn)線的統(tǒng)一定義等，同時(shí)我們還要關(guān)注這些定義的細(xì)節(jié)及注意點(diǎn)．從曲線的方程看，我們要關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程所包含的求軌跡方程的方法，關(guān)注不同曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的個(gè)性化特征以及用方程研究幾何問(wèn)題的程序化方法，如用方程研究曲線的位置關(guān)系，用方程研究曲線的范圍、曲線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)等．從曲線的性質(zhì)看，要關(guān)注曲線的某些性質(zhì)與方程的特征有著怎樣的必然聯(lián)系，如離心率、漸近線等特征量對(duì)曲線形狀的影響，另外，還要特別關(guān)注曲線自身的幾何性質(zhì)對(duì)簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算的巨大作用．

2　試題分析

平面解析幾何作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在高考中有著舉足輕重的地位，一直是高考中的主干題型和必考內(nèi)容，既有小巧靈活的容易題，也有新穎別致的中等題、壓軸大題，其中不少問(wèn)題的解決對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維、運(yùn)算能力等均有較高要求．直線與圓在高考中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，命題重點(diǎn)有2個(gè):1)考查直線方程及2條直線位置關(guān)系，常與充要條件內(nèi)容相結(jié)合;2)考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，解決弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線問(wèn)題，常與三角函數(shù)、圓錐曲線等內(nèi)容相結(jié)合．線性規(guī)劃內(nèi)容在高考中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，命題重點(diǎn)有:簡(jiǎn)單的規(guī)劃最值問(wèn)題，有時(shí)會(huì)與應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合;含參規(guī)劃問(wèn)題，常與恒成立、有解問(wèn)題相結(jié)合;整點(diǎn)規(guī)劃問(wèn)題;與圓等內(nèi)容相結(jié)合的規(guī)劃問(wèn)題等．對(duì)于圓錐曲線內(nèi)容的考查，在高考中，試題形式在選擇題、填空題以及解答題中均有所體現(xiàn)，其命題重點(diǎn)主要有:1)選擇題、填空題和解答題第1)小題重在考查定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，主要圍繞漸近線、離心率等進(jìn)行題目設(shè)置;2)理科解答題主要考查直線與橢圓、拋物線及圓的位置關(guān)系，而文科解答題主要考查直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，不涉及直線與橢圓的位置關(guān)系．

3　典題剖析

3．1線性規(guī)劃

高考對(duì)線性規(guī)劃的考查是對(duì)直線方程內(nèi)容考查的深化，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生掌握快速判定可行域的方法，如教師總結(jié)出來(lái)的口訣“同則上、異則下”等;引導(dǎo)學(xué)生正確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如距離、截距、斜率等，再利用恰當(dāng)?shù)膽?yīng)對(duì)策略去解決問(wèn)題．

A．(1，+∞)B．(0，1)

C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，+∞)

(2010年浙江省數(shù)學(xué)會(huì)考試題)

分析易知直線kx－y－2k+1=0過(guò)定點(diǎn)(2，1)，二元一次不等式y(tǒng)≥kx－2k+1表示直線kx－y－2k+1=0及上方的區(qū)域，故要使可行域?yàn)槿切螀^(qū)域，直線kx－y－2k+ 1=0需介于y=x－1與x=2之間，于是k∈(1，+∞)．

圖1

評(píng)注該題內(nèi)容簡(jiǎn)單，背景熟悉，學(xué)生入手容易，但是學(xué)生極易選擇答案“D”，主要原因是由于學(xué)生對(duì)“用平面區(qū)域表示二元一次不等式(組)”的內(nèi)容理解不夠深刻，對(duì)“同側(cè)同號(hào)、異側(cè)異號(hào)”的認(rèn)識(shí)浮于表面，導(dǎo)致線性約束條件含有參數(shù)時(shí)的可行區(qū)域判斷出現(xiàn)問(wèn)題．

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析此題可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)z= ax+y的最大值、最小值，且滿足由于目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)a，如何不重不漏地進(jìn)行分類討論以及找到簡(jiǎn)化討論的方法，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．

解法1(必要條件縮小范圍)先作出可行域，取可行域中的點(diǎn)A(1，0)代入1≤ax+y≤4，得1≤a≤4，此時(shí)直線y=－ax+z的斜率－a∈［－4，－1］，故z的最大值、最小值分別在點(diǎn)B和點(diǎn)A處取到，即

圖2

評(píng)注含參規(guī)劃問(wèn)題是近幾年數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在教學(xué)中需特別關(guān)注以下2點(diǎn):1)分類討論前需清楚為何而討論，若討論較復(fù)雜則考慮用必要條件縮小范圍;2)端點(diǎn)代入法確實(shí)是解決含參規(guī)劃問(wèn)題的一條“捷徑”，但是需要注意區(qū)分不宜用、甚至不能用的具體情形，否則學(xué)生一刀切地“濫用”，效果會(huì)適得其反．

3．2直線與圓的方程

直線與圓是2個(gè)基本圖形，對(duì)它們的研究，既可以從幾何角度來(lái)探索它們的位置關(guān)系，又可以利用方程來(lái)解決一些度量問(wèn)題，體現(xiàn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思想．直線與圓方程也是進(jìn)一步研究圓錐曲線的基礎(chǔ)，在每年的高考中均有涉及，除了考查基本概念和基本公式外，還會(huì)突出考查弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線問(wèn)題、直線與圓(圓與圓)的位置關(guān)系判定等技能與技巧，因此在高三復(fù)習(xí)中，也需要對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行落實(shí)并強(qiáng)化．

例3若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y－2|+|6－x－3y|的最小值是______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析解決此題的關(guān)鍵是目標(biāo)函數(shù)“z=|2x+ y－2|+|6－x－3y|”去絕對(duì)值的處理．因?yàn)閤2+ y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部的點(diǎn)，可得6－x－3y＞0，故目標(biāo)函數(shù)可化為

而直線2x+y－2=0與圓x2+y2=1相交，只需將可行域分成2個(gè)部分，再分類討論去掉絕對(duì)值即可解決問(wèn)題．另外，對(duì)于給定的正數(shù)z，目標(biāo)函數(shù)

表示平行四邊形，故也可以用平行四邊形與圓有公共點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題．

解法1(分類討論去絕對(duì)值)

綜上所述，|2x+y－2|+|6－x－3y|的最小值是3．

圖3

圖4

解法2(幾何意義數(shù)形結(jié)合)因?yàn)?/p>

所以對(duì)于給定的正數(shù)z，目標(biāo)函數(shù)z=|2x+y－2|+ |6－x－3y|表示平行四邊形(如圖4所示)，求得

解法3(絕對(duì)值三角不等式)如圖5，在區(qū)域1中，

評(píng)注本題以直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題為載體，以含有絕對(duì)值的規(guī)劃問(wèn)題為抓手，考查學(xué)生對(duì)分類討論、數(shù)形結(jié)合和化歸等思想的理解．其中，含有絕對(duì)值的問(wèn)題為近幾年浙江高考的熱點(diǎn)，常見的處理視角有:1)定義分類討論視角;2)幾何意義數(shù)形結(jié)合視角;3)絕對(duì)值三角不等式視角等．在教學(xué)過(guò)程中需結(jié)合具體問(wèn)題加以關(guān)注．

圖5

圖6

例4如圖6，⊙C與x軸相切于點(diǎn)T(1，0)，與y軸正半軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方)，且|AB|=2．

1)⊙C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為______;

2)過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與⊙O:x2+y2=1相交于點(diǎn)M，N，下列3個(gè)結(jié)論:

其中正確結(jié)論的序號(hào)是______(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．

(2015年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題以雙圓為背景，主要考查求圓方程、判斷直線與圓的位置關(guān)系以及利用圓的方程進(jìn)行消元代換，體現(xiàn)代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思想．

1)考查基本量的計(jì)算，較為容易．已知⊙C與x軸相切于點(diǎn)T(1，0)，設(shè)C(1，t)，由于|AB|=2，則因此所求⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

消去x2，得

易知答案應(yīng)選①②③．

評(píng)注本題作為2015年湖北省數(shù)學(xué)高考理科壓軸填空題，雖然有一定的難度，但實(shí)際上學(xué)生只要不被繁瑣的數(shù)據(jù)嚇倒并靜下心來(lái)仔細(xì)計(jì)算，同時(shí)，適時(shí)地利用圓的方程進(jìn)行消元代換，即可發(fā)現(xiàn)距離比值為定值．另外，該題的幾何背景為阿波羅尼斯圓，即到定點(diǎn)的距離之比為的點(diǎn)的軌跡為圓x2+y2=1．這是一道源于課本的好題，因此，教師在教學(xué)過(guò)程中也需要注意對(duì)教材的二次開發(fā)．

3．3圓錐曲線

教師在對(duì)圓錐曲線內(nèi)容的復(fù)習(xí)中，除了做好常規(guī)工作外，還要關(guān)注以下3點(diǎn):1)焦點(diǎn)、漸近線及拋物線中的“折直互化”;2)常用方法(如設(shè)而不求、整體代換等)、常用公式(如弦長(zhǎng)公式、拋物線上兩點(diǎn)斜率公式等);3)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析本題題意明確、入手容易，學(xué)生只需先求出右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并代入橢圓方程，即可得到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，進(jìn)而求得離心率．但是，如果選擇了此解法，運(yùn)算量將會(huì)非常大，因此需要結(jié)合題目，充分利用橢圓的定義與方程，優(yōu)化解題方法．

圖7

圖8

解法2如圖8，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F'，聯(lián)結(jié)QF'，則在△OFH中，

故在△QFF'中，

又因?yàn)閨QF'|+|QF|=2a，所以

評(píng)注本題以橢圓為背景，考查了圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．此類問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于將題目中的幾何條件翻譯成坐標(biāo)語(yǔ)言，需要學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力．同時(shí)，教學(xué)過(guò)程中要注意對(duì)不同翻譯方法的對(duì)比，指導(dǎo)學(xué)生有選擇地簡(jiǎn)化運(yùn)算，如本題中對(duì)“點(diǎn)在橢圓上”的翻譯，既可以翻譯成坐標(biāo)滿足橢圓方程，也可以用橢圓定義進(jìn)行刻畫．圓錐曲線的定義優(yōu)先策略往往能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果，在教學(xué)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注．

例6如圖9，已知拋物線C1:x2=y，⊙C2: x2+(y－4)2=1的圓心為點(diǎn)M．若點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作⊙C2的2條切線，交拋物線C1于點(diǎn)A，B，若過(guò)點(diǎn)M，P的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題涉及到直線、圓、拋物線，有一定難度．學(xué)生解題時(shí)常會(huì)遇到無(wú)法下手、無(wú)法翻譯和無(wú)法計(jì)算等困難，這其實(shí)也是學(xué)生解決解析幾何問(wèn)題的普遍問(wèn)題．如何破解上述難關(guān)成為提高解析幾何教學(xué)效果的關(guān)鍵．

圖9

解法1(線參法)設(shè)P(t，t2)，過(guò)點(diǎn)P且與⊙C2相切的直線為

化簡(jiǎn)得

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則

聯(lián)立y－t2=k1(x－t)與x2=y，解得x1=k1－t，

由MP⊥AB，得kMPkAB=－1，解得，因此直線l的方程為

所以直線PA的方程為y=(x1+t)x－x1t．因?yàn)橹本€PA與圓相切，所以

化簡(jiǎn)得

同理可得

由式(1)和式(2)可知，x1，x2是方程(t2－1)x2+ 6tx+15－t2=0的2個(gè)根．又因?yàn)镻M⊥AB，所以

評(píng)注解法1的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)P及過(guò)點(diǎn)P的直線使之成為圓的切線，得到一個(gè)十分關(guān)鍵的關(guān)系式后施行“設(shè)而不求”的方法使題目得到解決;解法2從設(shè)拋物線上的3個(gè)動(dòng)點(diǎn)開始，利用直線與圓相切及線線垂直的條件建立3個(gè)關(guān)系式解方程組，其中用到類比和“設(shè)而不求”的方法．

其實(shí)，為破解難關(guān)，解決解析幾何問(wèn)題往往可按照如下步驟進(jìn)行:

1)明邏輯:把握好題目?jī)?nèi)在的邏輯，有助于把握住解題方向，并迅速找到解題突破口;

2)巧設(shè)參:一般情況下，以問(wèn)題的起點(diǎn)作為設(shè)參的依據(jù)，要注意選擇何種方程，即點(diǎn)斜式、斜截式、截距式、點(diǎn)斜式變異體等的選擇;

3)準(zhǔn)翻譯:在對(duì)比、選擇的過(guò)程中積累常見的幾何條件的翻譯方法，如垂直、中點(diǎn)、中垂線、等腰三角形、弦長(zhǎng)、切線、面積、圓上(內(nèi)、外)等，在有多種翻譯方法時(shí)需選擇最佳途徑;

4)巧代換:把握住2種代換方式:“設(shè)而不求”和“設(shè)而要求”，并進(jìn)一步體會(huì)“設(shè)而不求”和“設(shè)而要求”的內(nèi)涵;

5)細(xì)運(yùn)算:俗話說(shuō)“百聞不如一練”，鼓勵(lì)學(xué)生親力親為，扎實(shí)提升運(yùn)算能力，強(qiáng)化解題基本功．

4　精題集萃

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b， |a|=|b|=1，a·b=0，點(diǎn)Q滿足曲線，其中0≤θ≤2π}，區(qū)域，其中r＜R}．若C∩ Ω為2段分離的曲線，則()

A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤R

C．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R

2．已知P1(a1，b1)與P2(a2，b2)是直線y= kx+1(其中k為常數(shù))上2個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x， y的方程組的解的情況是()

A．無(wú)論k，P1，P2如何，總是無(wú)解

B．無(wú)論k，P1，P2如何，總有唯一解

C．存在k，P1，P2，使之恰有2個(gè)解

D．存在k，P1，P2，使之有無(wú)窮多解

3．在等腰△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD長(zhǎng)為6，則當(dāng)△ABC的面積取得最大值時(shí)，AB的長(zhǎng)為______．

4．已知⊙C:(x－3)2+(y－4)2=1和點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)(其中m＞0)，若⊙C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m 的最大值為______．

5．已知⊙O:x2+y2=1和點(diǎn)A(－2，0)，若定點(diǎn)B(b，0)(其中b≠－2)和常數(shù)λ滿足:對(duì)⊙O上那個(gè)任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則b= ______，λ=______．

7．已知拋物線C:x2=4y的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M斜率為k的直線l與拋物線C交于點(diǎn)A，B，線段AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)D(0，a)．

1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得拋物線C上總存在異于A，B的點(diǎn)Q(x0，y0)，滿足點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上，若存在，求k的取值范圍;若不存在，說(shuō)明理由．

1)求證:PA⊥PB;

2)設(shè)PA，PB與x軸分別交于點(diǎn)M，N，求△PMN面積關(guān)于y0的函數(shù)表達(dá)式S(y0)．

參考答案

1．A2．B