年年歲歲題相似,歲歲年年題不同
——形散神同的幾道高考解幾題的研究

黑龍江省牡丹江市第八中學　(157014)　孔德泉

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年年歲歲題相似,歲歲年年題不同
——形散神同的幾道高考解幾題的研究

黑龍江省牡丹江市第八中學(157014)孔德泉

在全國高考異彩紛呈的大舞臺上,解析幾何試題一直扮演著重要角色,這道綜合題集數形結合、函數與方程、轉化與化歸等重要數學思想于一身,是甄別學生層次的較好題目,文理科均以壓軸題或次壓軸題出現,其地位及作用舉足輕重.該試題求解常常需要學生具有較強的計算能力,涉及較大的計算量時學生常心存恐懼,望而卻步,引得無數學子競折腰,成為部分學生突破高分的一個瓶頸.

分析解析幾何試題,把握解析幾何復習備考方向,突破該題,取得相應分數是全體考生的期盼,更是數學教師的重要使命,高考命題專家會對具有典型背景的試題分不同年份,不同省份,不同變式進行多角度考查,正可謂,年年歲歲題相似,歲歲年年題不同.數學教師引導高三備考學生對于本質相同的解析幾何問題進行拓展研究,顯得尤為重要.本文通過對2009全國二卷,2013北京卷,2015全國新課標Ⅱ,2015山東解析幾何綜合題出自同一背景的探究,意在揭示這幾道解析幾何題的聯系,發現高考命題的規律,有效地提高高三復習效率.

1.形散神同

2015山東理科第20題對此命題進行了考查：

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

圖1

2015全國新課標Ⅱ理科第20題正是考查此推論:已知橢圓C： 9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸,直線l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.

(Ⅰ)證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

(Ⅰ)求a,b的值；

命題中的OAPB為平行四邊形可否成為菱形,結論會怎樣？于是得到命題3與2013北京卷解析幾何題的不期而遇.

圖2

(1)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積；

(2)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由．

由命題2及推論得,AC為x2+4y2=1的切線,由圖易知OB與AC垂直,AC的斜率不存在,點B是W的頂點(證明略).

2.拓展探究

波利亞曾說：“類比是一個偉大的引路人, 類比是提出新命題或獲得新發展之不竭的源泉”.在雙曲線中結論如何？過原點O的射線與母雙曲線,子雙曲線分別交于點P,M,過子雙曲線上的點M作切線與母雙曲線無交點成為探究的難點,可是與其共軛雙曲線交于兩點,結果柳暗花明,水落石出.得到如下命題：

圖3

通過類比同樣可得雙曲線的命題4的有關推論.此處留給讀者繼續研究.

根據以上背景分析,適當變式又可編擬許許多多的相關試題,如平行四邊形成為矩形、正方形可編擬習題1、習題2,橢圓替換為雙曲線可編擬習題3等.

3.復習建議

第一、各省市高考試題凝聚了命題專家的集體智慧,具有權威性、示范性、借鑒性,在解析幾何知識復習時,一定要選擇高考真題作為備考習題,研究同一省份近幾年、近十幾年,甚至更久的高考真題,不僅僅是解析幾何題如此；第二、認真研究這些備考習題,不僅要和學生一起探究其共同背景,還要引導學生得出有價值的變式,使學生跳出題海,找出題源,舉一反三,以不變應瞬變,為備考做充分準備；第三、在解析幾何綜合題的復習中,有效利用解題教學進行學生思維訓練,使高三習題課更好地貼近數學本質教學,挖掘其重要數學思想方法,在領悟數學思想方法的過程中學會思考,可適當減速,給學生充分的思考時間,只有學生有效地思考,才能發生真正意義上的數學,高度重視解析幾何習題探究中歸納、類比、聯想等數學方法在數學發生、發展、結論形成過程中的作用,深刻領悟同宗同源解析幾何習題的“形散而神不散”,在事物的發展變化中,形成數學思想方法,養成理性思維習慣.授人以魚,不如授人以漁,結論無用,但過程斷然無價,當學生離開數學課堂后,還會留下些有價值的東西…….