對2015年山東卷理科第20題的拓廣探究

北京市昌平區(qū)第一中學(xué)　(102200)　張全合　何　苗

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對2015年山東卷理科第20題的拓廣探究

北京市昌平區(qū)第一中學(xué)(102200)張全合何苗

2015年山東卷理科第20題是一道橢圓與直線相交的綜合問題，特別是最后一小問，研究其解法、探究其拓廣，很有收獲，與大家同享．

一、題目再現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程；

(ⅱ)求△ABQ面積的最大值．

二、推廣到一般

在上述結(jié)論1中，有λ>1的條件，這一條件使我們對△QAB面積的最大值問題產(chǎn)生了以下質(zhì)疑：顯然，λ≠1，必有λ>0，經(jīng)過畫圖分析，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)0<λ<1時，問題仍然有意義．因此我們必須在嚴密的推理證明中去審視問題，得以下結(jié)論．

將y=kx+m代入到橢圓C的方程，可得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0，由(2a2km)2-4(a2k2+b2)a2(m2-b2)=△2≥0，可得m2≤a2k2+b2②.由②知0

于是，得到下面的結(jié)論2．

說明：仿上面的其他解法，也能證明結(jié)論2．

由于在上述推證過程中，并未用到a與b的大小，因此可以再推廣．

三、類比到圓中

從特殊到一般的猜想是我們發(fā)現(xiàn)新知的重要方法，但是猜想可能正確，也可能不正確，猜想是需要證明的．

參考文獻

[1]王伯龍．平淡中精彩分呈常規(guī)中彰顯能力——對2015年山東理科第20題的幾點思考[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015(5)：44-46．

[2]柳俊婷，于興江．2015年山東理科第20題的多解分析及探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2015(8)：40-42．