再談“對一道高考試題的質疑與探究”

浙江省溫州中學　(325014)　吳時月

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再談“對一道高考試題的質疑與探究”

浙江省溫州中學(325014)吳時月

抽象函數的對稱性、周期性是高中數學的重點內容之一，這類問題由于抽象程度高，解答過程靈活，不僅學生難以把握，老師在命題時也會經常出錯．近期，筆者在查閱文獻時，看到文【1】中的“對一道高考試題的質疑與探究”，深有感觸，并對此類問題進行更深入的思考，作為對文【1】探究的繼續，現記述如下．

一、真題再現

(2005福建理)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區間(0,6)內解的個數的最小值是().

A．2B．3C．4D．5

命題組提供的流行錯解：f(2)=f(5)=0,f(0)=f(3)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=-f(4)=0，所以f(1)=f(4)=0．所以答案選D．

(2005福建文)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區間(0,6)內解的個數的最小值是().

A．5B．4C．3D．2

命題組提供的基本解法：f(2)=f(5)=0,f(2)=f(-2)=f(1)=f(4)=0，此解法則是正確無疑，相比于理科題，條件僅由奇函數變成偶函數，結果則是大相徑庭．

二、錯題剖析

此題是在講授抽象函數的內容時經常遇到的一道錯題，下面先提供學生的兩種解法：

解法一、二的圖像延拓如圖1：

圖1

兩種解法的答案為什么不一致呢？很多學生都找不出錯誤的地方.究其原因，是因為f(x)是偶函數的條件多余，從而導致自相矛盾的表達式；或者把條件f(x+1)+f(x)=1改為f(x+2)=f(x)，則函數的表達式就唯一確定了，深究原因，是因為條件f(x+1)+f(x)=1在給出周期性的同時，還可以利用此條件得到相應區間的表達式，造成自相矛盾的結果. (或者說：f(x+1)+f(x)=1只是f(x+2)=f(x)的充分不必要條件，而不是充要條件)

以下的例題也是很多復習參考書中經常出現的錯題：

A.是增函數,且f(x)<0

B.是增函數,且f(x)>0

C.是減函數,且f(x)<0

D.是減函數,且f(x)>0

只要稍加修改，以上錯題便可成為典型的例題：

A.是增函數,且f(x)<0

B.是增函數,且f(x)>0

C.是減函數,且f(x)<0

D.是減函數,且f(x)>0

A.是增函數,且f(x)<0

B.是增函數,且f(x)>0

C.是減函數,且f(x)<0

D.是減函數,且f(x)>0

以典型例題3″為例，下面提供兩種常用的解法：

解法一、二的圖像延拓如圖2：

圖2

三、典例探究

典型例題5定義在R上的奇函數f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，若當x∈(0,3)時，f(x)=2x，則當x∈(-6,-3)時，f(x)=() .

A. 2x+6B. -2x+6C.2x-6D.-2x-6

典型解法一：由f(x+6)=f(-x)，f(-x)=-f(x)得f(x+6)=-f(x).當x∈(-6,-3)時，x+6∈(0,3)，所以f(x+6)=2x+6=-f(x)，即f(x)=-2x+6.選B.

典型解法二：當x∈(3,6)時，6-x∈(0,3)，所以f(x)=f(6-x)=26-x,當x∈(-6,-3)時，-x∈(3,6)，所以f(x)=-f(-x)=-2x+6.

解法一、二的圖像延拓如圖3所示：

典型例題5′定義在R上的奇函數f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，若當x∈(0,3)時，f(x)=2x，當x∈(-12,-9)時，求f(x)的表達式.

解：當x∈(-12,-9)時，x+12∈(0,3)，所以f(x+12)=212+x=-f(x+6)=f(x),即當x∈(-12,-9)時，f(x)=212+x.

此題背后隱藏著抽象函數的另一個重要性質(如圖4)：既有對稱中心，又有對稱軸的函數，必有周期. 具體性質如下：

性質1若函數y=f(x)關于點(a,y0)和直線x=b對稱，則4|b-a|是函數y=f(x)的一個周期.

性質2若函數y=f(x)關于直線x=a和x=b對稱，則2|b-a|是函數y=f(x)的一個周期.

性質3若函數y=f(x)關于點(a,y0)和點(b,y0)對稱，則2|b-a|是函數y=f(x)的一個周期.

四、反思總結

每一個數學問題都有它的數學本質，面對一個問題，如果只看到問題的表層，就無法深入到問題的內核，看不透問題的本質，正所謂“不識廬山真面目，只緣身在此山中” .所以，在平時的解題和探究過程中就應該通過問題的解決揭示問題的本質，使數學問題的解決變得簡單而自然．

參考文獻

[1] 馬進才.對一道高考試題的質疑與探究[J].數學通訊,2013(9).