數學課堂動態生成的應對策略*

江蘇省丹陽市第五中學　(212300)　林偉民

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數學課堂動態生成的應對策略*

江蘇省丹陽市第五中學(212300)林偉民

數學課堂是一個充滿思考的課堂，課堂教學是一個動態生成的過程.由于學生在認知、經驗、思維水平上的差異，使得數學課堂呈現出多變性、豐富性和復雜性，加之教師面對的是一個個具有獨立思維能力的學生，教學過程中隨時都會有“意外生成”.這些生成資源來自于學生學習的頓悟、靈感的萌發或者是瞬間的創造.教師應對這些動態生成的問題，需要有豐富的經驗、高度的智慧以及相應的策略，處理得當，可以使課堂在師生的互動中變得更加精彩紛呈.下面結合筆者的教學實踐，談談數學動態生成課堂的幾種應對策略.

一、順應學生思維發現美麗風景

華東師范大學葉瀾教授指出：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景.”雖然教師在備課時做了充分的預設，但課堂上學生的奇思妙想和靈感還是會不期而至.對于預設之外的學生的想法和思路，教師應充分運用自身的經驗和智慧，迅速判斷出方法的可行性，順應學生的思維繼續探究前行，師生共同在數學活動中發現美麗的風景.

圖1

案例一如圖1，在平面直角坐標系xoy中，圓C：(x+1)2+y2=16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，G是圓上的另一個動點，且滿足EF⊥FG．記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

分析： 教師課前預設了兩種思路:

圖2

由于上面的方程組中有四個未知數x1、y1、x2、y2，三個方程不能把x1、y1、x2、y2四個未知數全部解出來，學生的思維受阻.

課堂上教師本可以對以上學生的思路擱置一旁，按課前預設的方法另辟蹊徑.但為了充分運用課堂生成性動態課程資源，消除學生的疑惑，教師應該順應學生的思維進行深入的分析和探討,對學生的思路進行可行性分析和價值判斷.

教師：以上的方程組雖然不能分別求出四個未知數x1、y1、x2、y2，但我們的目標不是要去求出這四個量的值，我們只需判斷MO是否為定值，因此我們可以探究運用未知的四個量x1、y1、x2、y2來表示MO2，再利用上面方程組中的三個等式，嘗試能否將未知量消除得到定值.

在教師的啟發下，學生有了以下的成功做法：

教師進而進一步總結：這種方法的實質是運用了解析幾何中常用的“設而不求”的方法，四個未知數x1、y1、、x2、y2雖然求不出來，但最終未知量得以消除而得到OM是個定值.

教師對預設之外的思路的進一步探求，既肯定了學生思維的價值所在，保護了學生思考的積極性，也為學生指出了解題思路受阻的原因，體會到了解析幾何中的“設而不求”和整體思想的妙用.

二、借錯誤資源揭示問題本質

心理學家蓋耶認為：“誰不愿意嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”當一些關鍵的、隱蔽的錯誤被教師及時利用成為全班學生新的學習材料時，學生的探究興趣將被大大激發.

案例二7人排成一排，甲、乙、丙三人互不相鄰，有多少種排法？

教師：你解釋一下這個算式的意義.

這種方法比用插空法多出了720，我想知道這種解法錯在哪里？(這個問題的出現，引起了同學們強烈的好奇心和探究欲.在此情此景下，回避不是上策，教師順勢將此疑問作為課堂的生成性資源加以利用，讓學生在教師的指導下做一番研究，看看到底錯在哪里？)

教師：排列組合問題中，找到一個錯誤解法的錯因可能比給出一個正確的解法更難.既然大家都對此感興趣，我們就一起來研究一下，問題究竟出在哪里？(課堂上一陣無聲的思考后，仍沒有什么動靜.憑借自己的解題經驗，筆者已經覺察到其中的貓膩，但思路尚未完全清晰.于是決定帶領學生從具體情況入手用窮舉的方法尋找錯因.)

教師：甲乙在一起的排列中，丙也靠在他們一起的排列有多少種？

教師：為了檢驗它的正確性，我們不妨來排一排.先不考慮甲乙丙之外的4個人，就排出甲乙在一起時丙也靠在它們一起的排列，我們用(甲乙)表示甲乙相鄰，且甲乙不能分開(此限制非常非常的關鍵！).

學生很快排出：(甲乙)丙、(乙甲)丙、丙(甲乙)、丙(乙甲).

教師：甲乙丙三個元素在一起一共有多少種排法啊？

學生：六種，具體為：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲.

教師：你看出了兩者的差異了嗎？(其實教師也是頓悟)

學生豁然開朗：甲乙在一起時丙是不能插入到甲乙之間而出現甲丙乙、乙丙甲這樣的排列！

本節課上教師引領學生通過窮舉，讓模糊的感覺變得具體而清晰，最終走出了思維困境，錯解的原因得到揭示，教師的教學實踐智慧也得到了豐富.

在課堂教學中，教師利用“錯誤”資源，因勢利導，引領學生通過查錯、思錯、糾錯活動，使其充分暴露出錯的過程，這樣不僅能幫助學生加深了對知識的理解，而且培養了他們思維的嚴謹性和批判性，使課堂走入“柳暗花明又一村”的新境界.

三、品味思想方法 感受數學魅力

如果說數學家的數學活動是一種獨立的探索、發現與創造的數學活動, 那么, 數學教學中的數學活動更多的是在數學教師引導和幫助下的一個模仿探索、發現與創造的數學活動.雖然數學活動的目的更多地是為了“接受”已經發現和創造的數學，但教師在激發了學生數學活動的動機, 充分調動了學生的內在積極思維后，課堂上隨時會迸發智慧的火花，生成出精彩的數學方法.教師要抓住時機，讓學生真正領悟隱含于數學問題探索中的數學思想方法，感受數學的魅力，提高學生的數學素養.

案例三空間幾何體表面積的探求

這是筆者聽的一節《空間幾何體的表面積》公開課，在探究多面體的側面積公式時，教師放手讓學生自主探究如何求多面體的側面積.課堂觀察發現，學生從兩個角度去探究，角度一：求出各個側面的面積然后相加；角度二：作出側面展開圖，將空間問題轉化為平面問題.

四、辨析方法優劣優化數學思維

課堂上引導學生不滿足于一得之見，各顯神通探究解法，可以營造出百花齊放的課堂氛圍.教師再組織學生辨析方法的優劣，各抒己見，優化數學思維，既有效地提高了學生的解題能力，又對學生積極思維生成的各種解法做出了全面的回應.

案例四已知直線l:2mx+(1-m2)y-4m-4=0，若對任意實數m，直線l與一定圓相切，求該定圓的方程.

由題設條件：對任意實數m，直線l都與所設圓相切，故上式是一個關于實數m的恒等式，m各次項的系數和常數均應為0，解得x0=2,y0=2,r=2，故定圓方程為(x-2)2+(y-2)2=4(圖3).

學生方法二：m取幾個特殊的值，得到特殊的幾條直線，求出這些直線的內切圓，再進行檢驗即可.

學生方法三：將直線l的方程整理成關于m的一元二次方程ym2-2(x-2)m+4-y=0，令判別式為0，得4(x-2)2-4y(4-y)=0，整理得(x-2)2+(y-2)2=4.

課堂上學生在辨析方法優劣時認為：第一種方法思維脈絡清晰，但是整理方程的計算量比較大，對運算和變形能力要求較高；第二種方法運用特殊的幾條直線先求出定圓方程再檢驗一般情況，可操作性比較強，計算量也不大.第三種方法表面上雖然一步就能得到圓方程，但是就連用此方法的學生自己也說是歪打正著，不知道其所以然.但也有學生認為，既然可以得出定圓方程，可能不是巧合，必有其隱含的內在道理.因此有必要對它進行深入的研究，解題的依據如下：

關于x，y的二元一次方程2mx+(1-m2)y-4m-4=0表示的無數條直線與一個定圓相切，那么這無數條直線就是這個定圓(圓心為(2,2)半徑為2的圓)的包絡線.給定一個m，對應著包絡線中的一條.反過來，給定一個點(x,y)，過點(x,y)的包絡線可能有兩條(關于m的方程兩解)，可能有一條(關于m的方程一解)，也可能沒有(關于m的方程無解).令判別式為0，實際上就是要求過點(x,y)的圓的包絡線只有一條，這時點(x,y)就是包絡線與定圓的切點，且都分布在定圓上，判別式為0得到的

關于x,y的二元二次方程就是所求的定圓的方程.對圓的包絡線的理解可以借助幾何畫板進行直觀的演示(圖4)：

圖3 圖4

對第三種思路，教師如能在課堂上直接對學生作出科學合理的解釋，可以使學生茅塞頓開，但對教師的數學素養和解題能力要求較高.也可以把它作為研究性學習的素材，在教師的指導下讓學生進行合作探究.

動態生成是數學課堂的一種常態，數學又是“思維的體操”，要能夠靈活處置課堂“突發事件”，充分運用動態生成型課程資源，教師除了要在課堂實踐中逐步積累經驗，平時還要注意深入研究數學問題，閱讀數學書刊，提高數學素養，以厚實的數學功底和靈活的應變能力創造出充滿智慧的數學課堂.

*本文是2011年江蘇省教學研究第九期重點課題“基于問題生成的數學動態課堂的教學策略研究”(課題批號2011JK9-Z061)研究成果.