化靜為動，動中求定
——幾何畫板在中考動態問題教學中的運用

江西省南昌市青山湖區教研室　(330039)　范云波

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化靜為動，動中求定
——幾何畫板在中考動態問題教學中的運用

江西省南昌市青山湖區教研室(330039)范云波

幾何畫板在輔助數學教學方面的獨特優勢開創了教與學的新方式，有助于教師成為學生學習的引導者，有助于學生成為主動獲取知識的探索者.本文結合教學案例，從數形結合、實驗探究、輔助變式、原創欣賞四個方面來探討幾何畫板在初中數學教學中的實踐運用，旨在為廣大數學教師后期中考復習及今后的數學教學提供一些借鑒或啟示.

1.揭示數形關系，優化思維品質

華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微”，也就是說數與形之間相輔相成：以形助數，可以化抽象為直觀；以數輔形，可以化直觀為精確.在傳統的數學教學中，因受教學條件的限制，數與形很難真正地完美結合，特別是有些蘊藏在數量關系背后的幾何意義很難直觀地展現出來.而幾何畫板憑借其強大的功能優勢彌補了這一不足，能化隱為顯，化靜為動，直觀地反映數、形的同步變化，為學生提供一個探索和構建數學模型的平臺，從而幫助學生優化思維品質，簡化解題過程，提高學習效率.

例1 (江西2015中考卷T6)已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)過(-2，0),(2，3)兩點，那么拋物線的對稱軸().

A.只能是x=-1B.可能是y軸

C.在y軸右側且在直線x=2的左側

D.在y軸左側且在直線x=-2的右側

圖1 圖2

評析：通過幾何畫板演示不難發現例1是一個錯題(見上圖1，圖2)，數形結合思想使抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，讓抽象思維與形象思維結合起來，用這種思想指導，一些幾何問題可以用代數方法來處理，一些代數問題又可以用幾何圖形幫助解決，最明顯地表現是利用直角坐標系將幾何問題與代數問題結合聯系起來,這種思想是近年來中考的熱點之一.

圖3

例2(江西2015中考卷T14)如圖3，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為．

幾何畫板將數、形之間的關系動態地展示出來，活躍了學生的思維活動，使抽象的數學知識變得生動形象，容易接受.

2.探究數學實驗，把握問題本質

數學實驗作為一種新穎的數學研究方法，已成為中學數學學習的一種新形式.進行數學教學時，既要關注數學內容抽象化、形式化的一面，還要關注數學發現過程中經驗化、具體化的一面，為此可以利用幾何畫板進行數學實驗，輔助學生把握數學問題的結構特點，認清數學本質.

圖4

例3如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點P從起點B出發，沿BC、CD逆時針方向向終點D勻速運動．設點P所走過的路程為x，且線段AP、AD與矩形圍成的圖形面積為y，則下列圖像能大致反映y與x的函數關系的是().

評析：利用《幾何畫板》工具把靜態的知識動態化，抽象的知識具體化，改變了教師一貫的解決例題的教學方法，讓學生親身體驗，自主探索，在學中做，在做中學，激發學生的創新思維，同時培養學生主動探索研究、動手操作實踐的能力，培養學生創新精神和創造能力， 提升了思維活動的層次，培養了數學學習的基本素質.觸類旁通，學習方法的遷移也將有助于其它內容的學習，從而整體地提高學生的學習能力．

例4在正方形ABCD中，點P是CD邊上一動點，連接PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖5．

(1)請探究BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數量關系？若點P在DC的延長線上，如圖6，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系？若點P在CD的延長線上呢，如圖7，請分別直接寫出結論；

(2)就(1)中的三個結論選擇一個加以證明．

圖5 圖6 圖7

評析：規律開放探索問題是指根據已知條件或所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納，揭示和發現題目所蘊含的本質規律與特征，得到一般性結論的一類探索性問題.考查的問題一般包括數學命題、式子、圖形等，探究的結果一般要求能運用代數式、方程、函數等進行描述. 此類題有助于培養學生觀察類比歸納總結的能力,提升學生從特殊到一般思想的應用意識.在例4教學時，可以先用“幾何畫板”課件進行演示，通過點擊不同的按鈕來改變線段的長度，看BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數量關系，然后引導學生歸納出隱藏在現象背后的規律.這些實驗操作讓學生體驗了由特殊到一般、由一般到特殊的數學研究過程.幾何畫板所呈現的豐富的動態圖形，極大地開闊了學生的視野，給學生提供了更多“發現”的機會.

3.輔助變式教學，提升課堂效率

變式教學是促進數學學習的一種有效的教學方式，長期以來被數學教師廣泛地用于教學之中.在數學變式教學中，利用幾何畫板從不同層次、不同角度、不同途徑、不同背景這四方面變更數學對象的內容或形式，引導學生從變化的現象中抓住不變的本質，從不變的本質中探索變化的規律，讓學生經歷數學知識的發生、發展及形成的過程，強化對知識結構的認識，增加思維活動的經驗，提高分析問題和解決問題的技能.

例5(江西2015中考卷T6改編)已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有兩個交點x1、x2且-2≤x1≤0, 2≤x2≤3點，拋物線的對稱軸與x軸交點的坐標為(x，0)，則().

A. -2≤x≤0 B. 2≤x≤3

C. 0≤x≤1.5D. 0≤x≤2

評析：通過給學生一些變式訓練有助于培養學生分析問題和解決問題的能力,提高邏輯思維能力和發展創造性思維能力,訓練學生揭示各方面知識內在聯系和規律,加深知識的理解和應用并使知識融會貫通.

評析：這題是一個結論開放探索問題.這類題有助于培養學生綜合分析問題和解決問題的能力,提高邏輯思維能力和發展創造性思維能力,充分提升學生類比思想與轉化化歸的思想.

例7(原創)如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,CD⊥AB，垂足為D,現將△ACD繞D點順時針旋轉角α(0°≤α≤360°)，得到△A′C′D, 旋轉時間為t秒,△ACD繞D點旋轉的角速度ω=10度/秒.

(1)旋轉時間t=秒時，A′C′∥AB;

(2)△ACD繞D點順時針旋轉一周(360°)，斜邊AC掃過的面積為.

(3)如圖9，連接A′C、 C′B.

②當t>9時，上述結論還成立嗎？如成立直接寫出比值，不成立請說明理由.

圖8 圖9

評析：在初中階段存在一些典型的幾何變換問題，由于傳統的變式教學無法直觀、形象地演示圖形的變化過程，使得學生的認知不能深入到問題的內部本質，此時可借助幾何畫板的幾何變換、動畫等功能，將幾何圖形因條件改變而變化的過程從不同角度呈現出來.盡管圖形的部分條件發生變化，但解題思路依然沒變，其中一個直角三角形是由另一個直角三角形經過旋轉而得到.利用幾何畫板的復制和動態模擬功能，可以從復雜圖形中分離出基本模型，并使其與原圖形保持同步變化，這樣有助于學生認識圖形，學會從基本模型入手尋找解題的突破口，從而收到觸類旁通、舉一反三的效果.

總之，在數學教學中，強調人人做數學，這既是新《數學課程標準》的基本要求，也是素質教育面向全體學生的具體落實.實踐證明，應用《幾何畫板》工具進行初中幾何教學是激發學生學習興趣，促進學生主動探求知識，培養學生能力，不斷增長智慧的有效途徑. 但如何在教學中恰到好處地運用幾何畫板，更好地優化數學課堂教學，仍需要我們一線老師不斷地去探索去努力.