雙對稱圖像函數的周期及其應用

廣西岑溪市城東三巷63號　(543200)　蘇進文

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雙對稱圖像函數的周期及其應用

廣西岑溪市城東三巷63號(543200)蘇進文

雙對稱圖像是指函數的圖像既是軸對稱圖形同時又是中心對稱圖形或圖像有兩條對稱軸或圖像有個對稱中心的函數圖像. 本文給出這類函數的圖像對稱與周期之間的關系，并舉例說明其應用.

事實上，容易證明下面兩個結論：

引理1函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱?f(a+x)=f(a-x)?f(a+x)是偶函數.

引理2函數y=f(x)的圖像關于點(a,0)對稱?f(a+x)=-f(a-x)?f(a+x)是奇函數.

定理1若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a和點(b,0)(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=4(a-b)是它的一個周期.

證明：因為函數y=f(x)的圖像關于直線x=a和點(b,0)(a≠b)對稱，由引理1及引理2知，f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=-f(b-x).所以f[x+4(a-b)]=f[a+(3a-4b+x)]=f[a-(3a-4b+x)]=f(4b-2a-x)=f[b+(3b-2a-x)]=

-f[b-(3b-2a-x)]=-f(2a-2b+x).=-f[a+(a-2b+x)]=-f[a-(a-2b+x)]=-f(2b-x)=-f[b+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函數，且T=4(a-b)是它的一個周期.

定理2若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=2(a-b)是它的一個周期.

證明：因為函數y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b(a≠b)對稱，由引理1知，f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x).所以f[x+2(a-b)]=f[a+(a-2b+x)]=f[a-(a-2b+x)]=f(2b-x)=f[b+(b-x)]=[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函數，且T=2(a-b)是它的一個周期.

定理3若函數y=f(x)的圖像關于點(a,0)和點(b,0)(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=2(a-b)是它的一個周期.

證明：因為函數y=f(x)的圖像關于點(a,0)和點(b,0)(a≠b)對稱，由引理2知，f(a+x)=

-f(a-x)，f(b+x)=-f(b-x).所以f[x+2(a-b)]=f[a+(a-2b+x)]=-f[a-(a-2b+x)]=-f(2b-x)=-f[b+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x).故f(x)是周期函數，且T=2(a-b)是它的一個周期.

下面例舉上述定理的應用.

例1偶函數f(x)的定義域為R，且f(x+1)是奇函數，若f(1)=-2，則f(7)=().

A．-2 B．-1 C．1 D．2

解:由題意知，函數y=f(x)的圖像有一條對稱軸x=0和一個對稱中心(1,0)，由定理1知，4是函數y=f(x)的一個周期. 所以f(7)=f(-1+4×2)=f(-1)=f(1)=-2，故選A.

例2定義在R上的函數y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，f(1+x)=f(1-x)，當x∈[-1,1]時，f(x)=x3-cosπx，則f(2015)的值為().

A.-1B. 0C. 1D. 2

解:依題設條件，函數y=f(x)的圖像有兩條對稱軸x=0和x=1. 由定理2知，2是函數y=f(x)的一個周期. 則f(2015)=f(1+2×1007)=f(1)=1-cosπ=2，故選D.

例3設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(2x+1)是偶函數，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)=.

例4函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則().

A．f(x)是偶函數B．f(x)是奇函數

C．f(x)=f(x+2)D．f(x+3)是奇函數

解:由f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，由引理2知，函數y=f(x)的圖像有兩個對稱中心(1,0)和(-1,0)；由定理3知，4是函數y=f(x)的一個周期. 故f(x+3)=f(x-1+4)=f(x-1)是奇函數，選D.

例5奇函數f(x)的定義域為R，若f(x+2)為偶函數，且f(1)=1，則f(8)+f(9)=.

解:由題意知，函數y=f(x)的圖像有一個對稱中心(0,0)和一條對稱軸x=2，且f(0)=0，由定理1知，8是函數y=f(x)的一個周期. 又f(1)=1，所以f(8)+f(9)=f(0+8)+f(1+8×1)=f(0)+f(1)=1.