圓錐曲線“中點弦”的一個判定定理及其應用

云南省滇西科技師范學院數理系　(677000)　潘繼軍

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圓錐曲線“中點弦”的一個判定定理及其應用

云南省滇西科技師范學院數理系(677000)潘繼軍

定理如果MN是圓錐曲線D：f(x，y)=Ax2+By2+C=0上以點P(x0，y0)為中點的弦，弦MN的垂直平分線l的傾斜角為α，O為坐標原點，則存在點M、N關于直線l對稱的充要條件是

(Asin2α+Bcos2α)t2-(2Ax0sinα-2By0cosα)t+f(x0，y0)=0①.

由于MN被直線l平分，由t的幾何意義知

反之，若(1)、(2)同時成立，則有

證明:設直線l的傾斜角為α，由以上定理知存在點M、N關于直線l對稱的充要條件是

由題意知sinα·cosα≠0，所以

所以直線l與D的對稱軸不平行時，存在點M、N關于直線l對稱的充要條件是

由已知條件A>0，B>0得Ak2+B>0，所以

下面舉例說明以上結論在高考題中的具體應用.

圖1

(Ⅰ)求實數m的取值范圍；

(Ⅱ)求ΔAOB面積的最大值(O為坐標原點)．

(Ⅰ) 過點A(2，1)的直線l與所給的雙曲線交于兩點P1及P2，求線段P1P2的中點P的軌跡方程.

(Ⅱ)過點B(1，1)能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q1及Q2，且B點是線段Q1Q2的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方程;如果不存在，說明理由.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

圖2

(Ⅱ)過F的直線與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P、C，若PC=2AB，求直線AB的方程.

由于PC⊥AB，所以直線PC的方程為y-n=

±1.

所以直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.

析證:顯然MN⊥x軸不可能；若MN∥x軸，則弦MN的垂直平分線l為y軸，這時x0=0，顯然有