基于線性時間準確劃分方法的CPI指數變點分析

晏振 田茂再

摘要：居民消費價格指數反映了居民家庭購買消費商品及服務的價格水平的變動情況，影響著政府制定貨幣、財政、消費、價格等政策，同時，也直接反映了居民的生活水平及其評價。文章根據一種基于線性時間準確劃分方法的變點分析理論對我國居民消費價格指數進行實證分析，利用BIC準則判斷序列變點個數，并估計變點位置。最后，討論了全國居民消費價格指數變點發生的影響因素及波動特征。

關鍵詞：CPI指數；變點分析；BIC準則；時間序列；經濟形勢

一、 引言

居民消費價格指數（Consumer Price Index，CPI），是一個用來反映居民家庭購買的消費商品和服務價格水平變化情況的宏觀經濟指標。它主要是度量消費商品和服務項目的價格水平隨時間的變動情況。物價是廣大人民最為關心的問題之一。一方面它與居民的生活密切相關，在整個國民經濟價格體系中占據重要的地位。另一方面它也是政府監控價格整體水平、進行經濟分析和決策以及國民經濟核算的一個重要衡量指標。

隨著我國經濟改革開放的不斷推進，影響日常生活物價波動的因素越來越復雜。造成物價波動的原因，不僅是由于存在貨幣超發或緊縮、生產成本升高、供需不平衡等因素，也與國際市場價格變化、游資投機和炒作等經濟行為有關，而且國際因素對我國CPI指數的影響程度也越來越深。然而，頻繁的物價波動非常不利于經濟的健康發展。既然CPI指數影響著政府制定財政、貨幣、消費、價格等眾多相關政策，同時又反映居民的生活水平及其評價。所以，準確地分析CPI指數的變化規律，具有十分重要的理論價值和現實意義。國內很多學者對我國的CPI指數進行了研究分析。陳娟和余灼萍（2004）對我國CPI的年度數據建立了模型，并進行了一步預測。謝佳利等人（2008）利用時間序列模型對CPI指數變化進行建模研究，該時間序列模型較優地反映了CPI變化規律且相對誤差控制在1%之內，能夠得到準確的預測。朱厚巖等人（2013）運用ARCH模型分析了我國居民消費價格指數的變化規律，探究我國CPI指數變動的影響因素，并進行了動態預測；結果發現CPI指數同比增長率（SCPI）與其滯后一期有著極強的線性相關關系。陳鎮坤、劉金山（2015）運用貝葉斯方法對CPI經濟時間序列進行建模分析，該方法利用經濟領域的專家學者提供的先驗預測信息，可以更好地結合模型的預測信息和專家的先驗信息進行推斷，從而獲得更加合理的CPI預測值。

物價的頻繁變動，不僅會影響居民的日常生活，更不利于國家經濟的健康發展。分析CPI的波動情況，掌握其變化規律及波動特征，對于政府更好地掌握物價的波動周期和經濟政策的調控力度，確保物價穩定等方面都具有重要的指導作用。變點分析統計學前沿研究的熱點問題，屬于統計學中一個較新的領域，對我們了解事物變化規律、制定相關對策有著重要意義。因此，本文計劃利用變點理論對我國CPI指數進行分析，研究CPI的變化及其影響。孫軍等人（2001）研究了經濟序列中的變點貝葉斯分析問題。譚常春（2007）研究了變點問題在經濟、金融中的應用。鐘穎、田茂再（2008）討論了稀有事件變點問題的貝葉斯分析方法。王維國等人（2010）討論了我國GDP時間序列的變點問題，采用貝葉斯因子對GDP變點個數進行判斷，結果發現變點與經濟發展階段基本吻合。劉偉棠（2015）利用多變點理論對我國CPI指數變點進行了檢驗，利用動態規劃原理得到最優分段及變點的估計，討論了CPI指數發生的影響因素及波動特征。上述的這些方法在研究過程中都會遇到一些計算復雜或估計準確度不高的問題。Killick等人（2012）提出了一種基于時間線性組合的準確劃分方法來進行變點判斷。準確劃分方法主要是通過最小化一個損失函數來獲取最優變點個數和位置，該方法計算簡便并且準確，特別是在大數據情形下具有很大的計算優勢。因此，本文利用這一方法對我國2000年～2014年CPI月度指數進行建模，進行變點分析。

二、 模型與方法

變點問題一直以來是統計中的一個熱門課題。變點問題最初是從工業上質量控制中提出來的，人們從生產線上抽檢生產產品來檢測產品的質量是否發生顯著變化。所謂變點，從統計學意義上來說，即是“數據中的某個或某些量起突然改變數據結構的點”。具體是指，對于一個隨機變量序列{Y（t），t∈T}，如果存在某一個時間點，使得序列中在這個時間點前的數據服從一種概率分布f（Y），而在這個時間點后的數據服從另一種概率分布g（Y）（或分布相同而參數不同），則稱該時間點為這個隨機序列中的一個變點。所以，一個變點分析問題具體包含有兩個方面的內容：一是確定是否存在變點；二是估計未知變點的確切位置。在應用方面，變點問題不但在工業自動質量控制中有大量的實際應用，現在已經發展到在許多領域都有應用，如經濟、金融、醫學和氣象學等方面都有很多的應用背景。

假設有序列{y1，…，yn}，序列具有m個變點，m是未知數，這m個變點相對應的位置為{？子1，…，？子m}，則？子j，j=1，…，m滿足1？燮？子j？燮n-1，且？子j是整數。假設？子0=0，？子m+1=n，且？子j<？子k，當j對于序列{y1，…，yn}的變點分析則可以通過最小化下式得到，■R（y？子j-1+1，…，y？子j）+？茁f（m）（1）

其中，R（·）是一個損失函數，？茁f（m）是懲罰項。通常，損失函數具體可以選擇負對數似然函數、平方損失或者累積和函數。懲罰項一般選用變點數的線性組合，即？茁f（m）=？茁m。懲罰因子？茁的確定則與選取的準則有關，如在AIC信息準則下，？茁=2；在BIC信息準則下，？茁=log（n）。

針對（1）的最小化問題，很多研究工作者進行了相關的研究工作。Scott和Knott（1974）提出了二元分段方法，該方法的優點是計算便捷，只需要O（nlogn）的復雜度，但缺點是每次只能識別一個變點；Auger和Lawrence（1989）提出了區間近鄰方法，該方法利用動態規劃思想對所有區間進行搜索，但計算較為復雜；Jackson等人（2005）提出了最優劃分法。最優劃分方法在計算復雜度上優于區間近鄰方法，但遠沒有達到二元分段方法的簡便，尤其是在數據量較大的情況下，計算依舊復雜。Killick等人（2012）在最優劃分法的基礎上提出了一種線性時間準確劃分方法（Pruned Exact Linear Time，PELT），在一定條件下，該方法的計算復雜度只需要O（n），能夠更準確有效地判斷序列中存在的多個變點以及變點位置，計算簡單有效。

三、 中國CPI指數的變點分析

1. 數據描述與分析。在本節中，我們將PELT變點分析方法應用于我國CPI指數的分析，通過尋找序列的變點，對CPI的波動特征進行分析。我們選取了我國2000年1月～2014年12月CPI指數（上年同月=100），共有n=180個數據。數據來源于國家統計局數據中心。令yt表示第t月的CPI指數。我們首先觀察指數序列的時間變化趨勢。圖1給出了CPI指數隨時間變化的走勢圖。

從圖1可以看出，2000年～2014年我國CPI指數存在明顯的波動，同時又具有一定的周期規律性。我們利用PELT變點分析方法進行分析。根據（1）式建立模型，其中R（y？子j-1+1，…，y？子j）選用負的對數似然函數，懲罰準則選用BIC準則，即？茁f（m）=log（n）m。具體計算利用R軟件中的changepoint包進行計算。

經過計算，一共得到了9個變點，BIC=10.38。圖2給出了這9變點的位置圖。圖2中“+”標記的即是變點位置。具體時間點為2003年10月、2005年3月、2006年11月、2007年6月、2008年7月、2008年11月、2009年11月、2010年9月、2012年1月。這9個變點把CPI指數序列分成了10段。

2. 變點原因分析。根據上一小節的變點分析結果，所得的9個變點將2000年～2014年劃分成了10個時間段。我們發現，這些變點往往是與當時的經濟形式或經濟政策密切相關聯的，每一段時間往往對應其波動周期。

2000年～2003年期間，由于受到1998年亞洲金融危機的影響，我國經濟尚未恢復過來，我國物價總體處于一個較低的穩定水平，CPI 保持低水平漲幅運行，在2003年10以前，同比增長率最高僅為1.7%。從2003年開始，我國CPI整體水平由負轉正，主要是2002年下半年開始，我國經濟逐漸從1998年亞洲金融危機中復蘇及世界經濟形勢好轉。從2003年11月份起到2004年底，CPI同比增長率均在2%以上。這說明變點在2003年10月前后，經濟形勢好轉，CPI結構發生了變化，也就是說2003年10月是一個變點位置。

2003年10月～2005年3月，CPI同比增長最高達到5.3%，最低為1.8%，在2004年下半年，我國CPI雖然保持較高的整體水平，但相比而言出現下降趨勢，直至2005年后開始進入較低CPI水平。因此，這一輪的上漲是我國2000年以來第一次較大上漲周期。而2005年下半年與2006上半年，CPI則保持在平均1.3%左右的穩定同比增長水平。由此可見，在2005年初CPI指數前后結構發生變化，即存在變點，時間點具體為2005年3月。

2006年開始，我國房地產快速增長，房價的增長直接帶動了我國其他產業價格的快速上漲，同時也帶動了整個國內市場商品價格的全面增長。此外，受到我國廢除農業稅的影響，廢止農業稅條例的決定極大地促進了農業的發展，進一步促進了經濟的發展。2006年11月至2007年6月期間，CPI指數從之前的平穩增長開始進入快速增長階段，平均漲幅為3.26%。因此，在2006年10月前后，CPI指數發生了結構變化。而在2007年下半年和2008年上半年，隨著我國經濟的快速發展，到了一個高位運行的狀態，同時國際熱錢的涌入，使得CPI指數處于高位運行狀態，CPI指數漲幅均高于5%，最高達到8.5%。因此，2007年6月為一個變點，在這個時間點前后，CPI指數的增長速度極為不同。而這一輪的增長是我國CPI指數近年來的第二輪上漲

2008年開始，在全球金融危機和國際原油價格大幅度下降的影響下，我國經濟環境開始惡化，CPI指數也隨之下降。但是由于北京奧運會的召開，我國消費能力和水平還在提高，物價水平和CPI指數并沒有嚴重下滑。因此，2008年7月～2008年11月期間，CPI指數整體漲幅還維持在5%左右水平。我們稱這段時間為“北京奧運周期”。而在這段時間前后，CPI指數結構則發生了變化，從較高增幅急劇進入負增長狀態。因此，我們可以發現短時間內出現2008年7月和11月兩個變點。

進入2009年，由于受全球金融危機的影響，我國CPI指數開始出現了負增長。但是在2010年，物價指數又開始上升。一是在金融危機后，國家出臺了多樣刺激經濟政策，貨幣政策從緊縮轉為寬松，過量的廣義貨幣供應量導致了市場價格上漲；二是受市場上的游資包括外部資金的炒作影響，CPI開始回升。這也是我國2000年以來CPI第三次上漲階段。因此，2009年底是CPI指數結構變化時間點，具體表現在2009年11月左右。在經過2010年的經濟恢復以后，從2010年底開始，CPI指數快速上漲。2010年10月～2011年12月，CPI指數漲幅平均水平達到5.27%。因此，可以認為2010年9月，CPI指數結構前后發生變化。

2012年開始，全國CPI指數開始下降，主要原因是我國貨幣政策的收縮力度明顯加大，國際市場大宗商品價格的下跌和人民幣持續升值。這一周期，CPI指數又回到了一個較低漲幅的水平，整體水平維持在2%左右。因此，可以看出2012年1月是一個結構發生變化的時間點。而結合當前的經濟形勢，這一周期已經持續了三年多的時間，并有可能持續。

四、 結論

本文利用變點分析理論對我國CPI指數進行分析，根據變點可以知道，我國CPI指數的波動特征和變化周期。總體上，自2000年以來，我國CPI共有三個上漲周期和三個下降周期，每次上升必然伴隨著下次的下降。每次上漲的周期大約持續23個月左右，而每次下降的周期則持續20個月左右，下降周期一般短于上漲周期。通過變點分析我們發現，CPI指數結構的變化主要集中發生在2004年～2012年間，每一個變化周期基本都是一年左右。這主要是由于這一時間內我國經濟形勢多變，同時，也可以看出我國政府宏觀調控的能力，能夠根據多變的經濟現狀及時做出調整政策。此外，通過變點的分析，我們還發現了CPI周期出現了如北京奧運周期這樣的特殊周期。這些都能夠對將來的經濟發展，經濟規劃提供參考價值。因此，對我國居民消費價格指數的動態變化進行研究分析，掌握其變化特征和規律，有助于預測CPI走勢以及預判突發事件對CPI的影響和對經濟形勢的影響。

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基金項目：國家自然科學基金（項目號：11261009）；北京市社會科學基金重大項目（項目號：15ZDA17）；國家社會科學基金重點項目（項目號：13AZD064）；中國人民大學科學研究基金（中央高校基本科研業務費專項資金資助）項目“大數據統計學基礎理論的發展研究”（項目號：15XNL008）。

作者簡介：田茂再（1969-），男，土家族，湖南省鳳凰縣人，中國人民大學統計學院教授、博士生導師，研究方向為數理統計；晏振（1985-），男，漢族，廣西壯族自治區玉林市人，中國人民大學統計學院博士生，研究方向為數理統計。

收稿日期：2016-01-16。