“三看”利用柯西不等式代數及幾何形式解題

葉忠

摘 要：柯西不等式是高中數學選修課的重要內容，中學數學教學中，受知識學習順序及學生對知識的熟練程度的影響，利用柯西不等式代數形式及其向量形式解題常被割裂開，“側看”這兩種形式，好象有很大區別；“正看”這兩種形式在解題中其實質是相同的，甚至解題過程也相似；通過“轉身看”兩種形式在近年高考題中的運用，發現只學習向量運算 （即幾何形式），可以代替柯西不等式代數形式解題.

關鍵詞：柯西不等式；代數形式；幾何形式

柯西不等式是著名的經典不等式之一， 它在求函數最值，證明等式與不等式，解方程等方面都重要的應用.

向量與柯西不等式在中學數學中，既作為知識，又作為解題工具，它們的應用有很多不同的地方，但有時用它們解決同一問題時，兩者又常有異曲同工之妙，它們的這種交融在柯西不等式向量形式上得到充分體現.由于人們對向量知識非常熟悉，柯西不等式向量形式與柯西不等式常被割裂開.其實，在現在中學數學中，只要向量存在，即使高考不考柯西不等式，還是可以在向量應用中找到柯西不等式的影子，甚至在很多需要利用柯西不等式來解題的時候，可以通過向量方法來代替.

1 “側看”利用柯西不等式代數形式及其向量形式解題

柯西不等式和向量在解題教學常以工具的形式被用來解題.從解題工具的層面看解題，很多學生利用柯西不等式向量形式解題，也不會把它和柯西不等式聯系起來.這是因為，在中學教材中，向量的學習先于柯西不等式的學習，學生對向量的熟悉程度也遠勝于柯西不等式.

例1.已知點P（x0，y0）及直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0），求證：點P到直線l的距離d=.

證法1（利用柯西不等式解題）：

設點P1（x1，y1）是直線l上的任意一點，則Ax1+By1+C=0，PP1=.顯然，PP1的最小值就是P到直線l的距離.

由柯西不等式得：

當且僅當B（x1-x0）=A（y1-y0），即PP1⊥l時取等號.根據點到直線距離的定義.

所以，點P到直線l的距離d=.

證法2（利用向量形式解題）：

設平面內直線l的方向向量=（-B，A）.

與之垂直的直線l'的方向向量為=（A，B）.

設點P1（x1，y1）是直線l上的任意一點，

則=（x1-x0，y1-y0），點P到直線l的距離d=

因為兩種方法在“數”與“形”中有不同的偏向，所以很容易讓我們覺得這是兩種沒有聯系的方法.

利用這兩種方法得到點到直線的距離公式，都有其巧妙的一面.向量方法：利用法向量，求出在法向量上的投影長度，進而求出距離；而柯西不等式方法：很巧妙地利用等號的唯一性得到了公式.本題兩種解法表面上看有很大的區別，但認真分析，發現他們本質上就是利用·≥A（x1-x0）+B（y1-y0） =Ax0+By0+C，其實就是利用柯西不等式的向量形式：·≤

因此，從這點上說兩者其實是統一的.會出現這是兩種不同方法的偏差緣于向量的學習在先，且對·≤

的熟悉程度勝過柯西不等式.

2 “正看”利用柯西不等式代數形式及其向量形式解題

在現行《不等式選講》教材中，從向量數量積角度對二維柯西不等式進行了解釋，并把柯西不等式的向量形式看作是柯西不等式的幾何表示形式.利用空間向量的數量積得到三維形式的柯西不等式，進而猜想到一般形式的柯西不等式.柯西不等式代數形式及其向量形式兩者是等價的.因此，利用它們來解題，只是思考的出發點有所不同，但方法是一致的.

例2.（福建省泉州市2015屆普通中學高中畢業班質量檢查21）已知a，b，c∈R+，a+b+c=2，記a2+b2+c2的最小值為m.

（Ⅰ）求實數m；（Ⅱ）略.

方法1：（利用柯西不等式）由柯西不等式，整理得，（a2+b2+c2）[1+（）2+（）2]≥（a+b+c）2，當且僅當==，即a=，b=，c=1時，等號成立，所以m=2.

方法2（利用向量形式）：設=（a，b，c），=（1，，），則

，因此（a2+b2+c2）[1+（）2+（）2]≥（a+b+c）2，整理，得a2+b2+c2≥2，當且僅當==，即a=，b=，c=1時，等號成立，所以m=2.

例3.（2012年湖北高考理科第6題）設a，b，c，x，y，z是正數，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則=（ ）.

A. B. C. D.

方法1：（利用代數形式）：

由柯西不等式知：（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2而10×40=202，當且僅當==時，等號成立，不妨設 ===k，則a=kx，b=ky，c=kz.因此=k，而=k2，從而=.故選C.

方法2（利用向量形式）：

設=（a，b，c），=（x，y，z），因此， ·=ax+by+cz.由

故20=ax+by+cz≤=20當且僅當 ==時，等號成立，下同解法1.

從兩例上看，兩種方法解題入手不同，但解題過程卻是相似的.

例2由已知條件a+b+c=2及目標“求a2+b2+c2的最小值”想到利用柯西不等式；由a+b+c想到構造向量=（a，b，c），=（1，，），得到向量解法.例3從ax+by+cz=20展開聯想，根據題目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比較自然.從兩例可以看出，利用柯西不等式代數形式及其向量形式解題的方法是一致的.選擇哪種方法進行解題，可能會因解題者的知識解構、思維特征及對問題與方法的熟悉程度做出選擇.分析近幾年各省市高考卷或各地市質檢卷，可以發現，基本上能用柯西不等式的代數形式解題的問題都能用向量形式來完成.

3 “轉身看”利用柯西不等式及向量形式解題的教學

比較兩種解題方法，從解決問題的角度看，受思維特點和知識熟悉程度影響，不同的人會喜歡不同的處理方式.

從柯西不等式的地位與作用看，由于柯西不等式是經典不等式，向量形式只是其中一種，利用代數形式研究一些相對復雜的問題更讓人們所習慣.因此，從這個角度看，不能不介紹柯西不等式代數形式而只介紹向量形式.

從中學數學教學的角度看，利用二者進行解題，基本上是可以互相替代的.學生沒有學過柯西不等式的代數形式，只要熟悉向量形式（或者說熟悉·≤

），就可以完成解題.學生對向量數量積概念與運算都比較熟悉，利用柯西不等式向量形式訓練學生，讓學生學會在解題中靈活運用，從某種角度看，可以代替《不等式選講》中的柯西不等式的學習.正因為從以往的學習與考試看，高考及各地市質檢卷中，《不等式選講》部分考查柯西不等式的試題，學生既使沒學柯西不等式，只要熟練掌握·≤

的運用，一樣可以很好地完成解題，所以即便現在全國高考課標卷沒考柯西不等式，但運用向量工具解決問題中仍然保留著它的影子.