不動點定理及其應用

一、引言

1912年，荷蘭數學家布勞維證明，任意一個把維球體映入自己的連續映象（即拓撲變換）至少有一個不動點.這就是著名的拓撲不動點定理.我們知道，直線是一維空間，平面是二維空間，普通空間是三維空間，四維、五維及以上的空間就很抽象了，下面對一維球體做出一個有趣的例子.

某學生進城，早晨六點從家里出發，下午六點到達.第二天沿原路返回，早晨六點離城，下午六點到達.他對老師談這一上述經過時，老師告訴他：“你知道嗎？途中有一個地點，你昨天進城和今天經過那個地方時，所用的時間完全相同.”學生說：“沒有這么巧的事吧？我在路上走得時快時慢，有時還停下來休息、吃東西，兩次經過某地的時間怎么會完全相同呢？”老師說：“不是不可能的，而是肯定有這一點，雖說我不知道它到底在哪里.”究竟誰是正確的呢？看起來，學生理由充足，振振有詞，而老師既然“肯定”有這一點，又“知道”這點在哪里，似乎自相矛盾.其實，老師是正確的.道理很簡單，設想進城和回家發生在同一天，學生離家出走，而學生的“替身”則同時離城回家（途中經過情況與學生回家完全相同）.那么兩人必定路上相遇，進城和回家經過這相遇點的時間不是完全相同了嗎？所以老師是正確的.這個有趣的問題給著名的“拓撲不動定理”提供了一個極其生動簡明的例證.

我們對上面一維球體的例證再用數學模型建立起來研究一下，直觀化一些.設甲同學從家里往學校走，乙同學從學校往甲同學的家里走，所走的路線是一樣的，而且兩人出發的時間都是早上6點，那么他們在某一時刻一定會相遇，這一點就是上面提及的不動點.用個圖形來簡單的描繪一下：

甲同學→ ←乙同學

家 學校

理想化假設兩人都是勻速行走的，那么設甲的速度為v1，乙的速度為v2，從學校到甲的家里的路程為s，則兩人相遇的時間為t，從而得到式子s=v1#8226;t+v2#8226;t，一旦速度確定了，這個不動點就肯定確定了，而且就是在距甲的家里v1#8226;t的點處或者距學校v2#8226;t的點處.

上面談到的學生進城路線便可以看成一維球體（拓撲學里的線不分曲、直）.如果進城經過A點與回家經過B點的時間相同，我們就說A點與B點對應，這種對應關系顯然是把此線段變換成了自己，即是把一維球體映入自己的連續映象，按照布勞維定理，這個變換至少有一個不動點，就是學生與“替身”相遇的地方.布勞維定理的嚴格證明是很抽象、艱深的.

不動點定理問世以來，引起科學家的極大興趣，它有著廣泛而奇妙的應用.在數學中，很多問題的求解可以作為相應的不動點來處理.

二、 不動點定理在高中數學中的應用

函數是貫穿中學數學的一條主線，也是學好高等數學的基礎，每年的高考對函數的問題的考察所占的比例都相當的大，可以說常考常新，其中涉及函數的“不動點”問題，是高考命題的新動向.

高中學生都知道，A、B兩個集合，如果按某種對應關系，使A的任何元素在B中僅有唯一的元素和它對應，這樣的對應關系稱為從A到B的單值對應，也叫映射或變換.如果是該變換下的一個不運動點，函數關系g(x)就是一個從一個集合A（定義域）到另一個集合B（值域）的一個變換，若g(x1)=x1，即x1通過變換g后仍變為自己，x1就是函數g(x)的一個不動點.所以要找函數的不動點，只需找出滿足關系g(x)=x的x值就行了.假設g(x)=x2-2，由x2-2=x，得x2-x-2=0，即(x+2)(x-1)=0，求得x1=-1，x2=2，所以有兩個不動點：-1和2，他們滿足g(-1)=-1，g(2)=2.

【例】 對于函數f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)，若存在實數x0，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點.

（1）當a=2，b=-2時，求f(x)的不動點；

（2）若對于任何實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)的圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且直線y=kx+12a2+1是線段AB的垂直平分線，求實數b的取值范圍.

解：（1）當a=2，b=-2時，f(x)=2x2-x-4，由2x2-x-4=x，解得x1=-1，x2=2，即f(x)的不動點是-1和2.

（2）由f(x)=x，得ax2+bx+b-2=0，此時方程有兩個相異的實根，故該方程的判別式Δ＞0恒成立，即b2-4a(b-2)＞0，這說明不等式b2-4ab+8a＞0對任意的b∈R恒成立，所以Δb＝16a2-32a＜0，解得0＜a＜2.

（3）設A(x1，x1)，B(x2，x2)，直線y=kx+12a2+1是線段A、B的垂直平分線，所以k=-1，記AB的中點M(x0，x0)，由f(x)=x，知x0=-b2a，因為M在y=kx+12a2+1上，所以-b2a=b2a+12a2+1，化簡得b=-a2a2+1=-12a+1a≥-122a#8226;1a=-24，

且當等號成立時a=22，又因為b＜0，所以-24≤b＜0.

不動點定理的應用相當廣泛.不動點的運用涉及數學的各個分支，且在當代數學的研究中起到了更廣泛的應用！

(責任編輯 金 鈴）