“積不出”函數的判定與積分

楊立敏 趙嵩卿

摘要：一般高等數學書對于“積不出”函數的處理都是只給出三、四個簡單函數，沒有證明。學生不知如何判別所遇到的積分是否是“積不出”函數以及如何處理這類函數的積分，常常會感到困惑。本文從Liouville第三、四定理出發證明了三類“積不出”函數。不僅給出了較多的“積不出”函數，也給出了判別“積不出”函數的常見方法。最后又介紹了處理“積不出”函數積分的兩種方法。

關鍵詞：不定積分；“積不出”函數；初等函數；Liouville定理

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）23-0178-02

初等函數在其定義區間內是連續的，連續函數是有原函數的，但初等函數的原函數不一定還是初等函數，初等函數的原函數若不是初等函數，它的不定積分是不能用教科書上提供的常用方法來求得的，這樣的函數被稱為“積不出”函數，這些不定積分都不能用初等函數來表示，但教科書上只是直接給出幾個簡單“積不出”函數，并且沒有證明，也沒有提到這些函數的原函數可以試用哪些辦法求得和被表示成什么樣子。容易讓人產生如下問題：（1）面對構造那么簡單的函數，更傾向于它們可以被輕松求得原函數。（2）誤以為“積不出”函數很少見，就這么幾個，許許多多的函數是可以用常見辦法來積分的，碰到某些“積不出”函數時，不能判斷它，而是花大力氣去積分，浪費了時間和精力。（3）這種做法也容易讓人覺得對于“積不出”函數的原函數，我們完全無能為力，無從下手。

為了解決以上三方面的問題，從替換定理[1]出發，本文先用Liouville第三定理[2]證明指數函數類的“積不出”函數，用歐拉公式和Liouville第四定理[2]證明三角函數類的“積不出”函數，用換元法和分部積分法給出更多的“積不出”函數，最后再給出尋找“積不出”函數的原函數的一些方法。

一、指數函數類“積不出”函數

參考文獻：

[1]張從軍.數學分析概要二十講[M].合肥：安徽大學出版社，2000：93-94.

[2]J.Liouville，Menreire sar lintegrtino dune classe de funcations tran scrndandres，J.Reine Angew.Math. 1835，vol.12：93-118.

[3]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008：201-205，216-217.