地方本科院校高等數學課程中空間解析幾何教學的幾點建議

黃春妙

摘要：高等數學教材涉及到微積分、空間解析幾何與向量代數、線性代數等內容，這三個內容聯系緊密。在教學過程中，很多學習者沒有重視它們之間的內在聯系，導致在知識的理解和應用方面出現了困難，因此需要老師在教學中重視相關知識的聯系。本文主要從空間解析幾何對微積分的影響方面給出空間解析幾何內容教學的幾點建議。

關鍵詞：地方本科院校；高等數學；空間解析幾何

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）23-0218-02

高等數學是理科及工科專業的一門重要的公共必修課，空間解析幾何與向量代數和微積分在教材中分布在不同的章節里面，在教學過程中，很多學習者經常把它們看作孤立的知識點，沒有重視它們之間的內在聯系，導致在知識的理解和應用方面出現了困難，特別是空間解析幾何中二次曲面的內容在多元函數微積分里面有廣泛的應用，很多學習者在學習三重積分時對三維立體圖形缺乏空間感，感覺三重積分計算無從下手。因此掌握好空間解析幾何的內容非常重要，老師在教學方面尤其要重視它們之間的聯系。本文主要從空間解析幾何對微積分的影響方面給出空間解析幾何內容教學的幾點建議。本文針對同濟大學數學系編的第六版的《高等數學》教材。

一、重視向量及其坐標的學習

解析幾何的主要思想是利用代數方法來研究解決幾何問題，利用可以進行計算的定量的工具來研究幾何里形狀的定性問題，為了將代數運算引入到幾何中來，其根本的做法是設法將空間幾何結構有系統地代數及數量化。所以，向量和坐標是三維空間解析幾何的工具與基礎，且向量的應用在本章的重點內容即平面方程與空間直線方程的教學當中體現得非常突出。平面方程及空間直線的方程的建立，其實是向量與向量垂直、向量與向量共面、向量與向量共線等條件的應用，點到直線的距離是要計算兩向量的向量積的模。平面與平面的夾角，直線與直線的夾角，直線與平面的夾角統統都是要計算兩個向量的夾角。所以，在教學過程中，要非常注重第一節和第二節的學習，第一節是向量的概念和線性運算，理科生在高中已經學過，因此第一節的處理可以讓學生提前預習，上課時復習下向量的相關概念，如向量、模、向量表示方法符號、單位向量、自由向量、向量平行（共線）、向量共面等，主要強調向量加減法的作圖和向量數乘的概念。第二節中空間點的坐標和向量的坐標要多舉幾個例子來理解坐標。向量的數量積和向量積要重點強調它們的坐標運算，向量垂直平行的充要條件，為平面和直線方程的建立打下基礎。在向量這個內容多安排一些時間，掌握向量這個工具，打好基礎，是非常有必要的。向量的概念和運算的特點是概念多、技巧少，所以教師教學一定要強調概念符號的區別，理解每個概念、符號的意義和內涵，許多問題就可以迎刃而解了。

在第一、二節向量的學習內容中涉及到利用向量法解決初等問題的內容，在講授這些內容時，可以讓學生做一些利用向量的知識求解初等幾何的作業。

二、在教學中要注意培養學生的空間想象能力，注重提高學生對空間圖形的繪制技能和技巧，為微積分的學習打下堅實基礎

微積分是理工科學習的一門必修課，而重積分的計算是微積分學的一個重要的內容，計算重積分的一個關鍵就是要能夠根據曲面的方程繪制出一些簡單曲面的圖形，很多學生在學習這部分內容時都覺得繪制圖形很難，在第三節曲面及其方程的處理上，要強調常用曲面（如球面、圓柱面、橢圓拋物面、柱面）的方程特點和圖形的形狀，要求學生能夠用筆紙畫出這些常用曲面，另外在上到曲面方程時可直接結合第十章三重積分的課后練習畫出三重積分所定義的曲面圍成的體，讓學生切實感覺的這個內容的重要性，為后面多元函數的積分打好基礎。

1.強調空間曲面及曲線方程的一般形式。空間解析幾何是利用代數方法來研究及解決幾何問題。其基本的思想是數形結合，方法是通過建立標架，建立起空間點、向量與有序數對的一一對應的關系，曲線（面）由點構成，方程由變數構成。通過坐標系的建立將點與數對聯系起來，曲線（面）和方程自然也就可以通過坐標系結合起來。因此，研究曲線和曲面幾何方面的問題就可以歸結為研究它們方程中代數方面的問題了。要建立起平面曲線方程和空間曲面的方程，其基本方法都是將曲線（曲面）上的點所要滿足幾何方面的條件用代數式子表達出來，而連接幾何條件和代數式子的橋梁就是坐標系，不同的是從平面推廣到空間范圍。如在平面討論平面圖形是用二元方程F（x，y）=0或一元函

啟發式教學是應用非常廣泛的一種教學方法，通過老師的引導和啟發，學生能夠思考一些問題，區別于以前的“填鴨式”和“滿堂灌”等。學習的主體應該是學生，一定要調動學生的參與意識，第五、六節“平面及其方程”和“空間直線及其方程”主要包括以下三個內容：（1）平面方程如何建立；（2）空間直線的方程如何建立；（3）平面和平面，直線和直線，直線和平面的夾角與它們之間的相關位置。在對向量的概念和運算掌握較好的基礎上，建立平面的點法式方程，不過是兩向量互相垂直的具體應用。而建立三維空間直線的方程，其實是應用了兩個向量共線的條件。至于平面和平面，直線和直線，直線和平面的夾角以及它們的相互位置的概念，在中學立體幾何就已經學過，只不過在這里主要應用向量的夾角，向量的平行垂直關系，再通過向量的坐標、曲面曲線的方程來定量研究它們。這個部分可以通過教師啟發，讓學生自己來構建一個這樣的知識體系：（1）空間直線及平面的各種相關關系；（2）每一種相關位置要滿足的條件；（3）在每一種相關位置下需要研究什么問題。學生在自己構建這個知識體系的過程中，會自己動手分析和進行研究，而且可以自己檢驗是否已經掌握了相關知識，老師只適當地作一些指點。通過這種教學方法，學生可以聯系以前中學的知識，體驗向量這個工具的廣泛作用，主動自己參與進來，主動自己探索，在學習過程中感覺輕松而充實，能從中體會到學習的樂趣。

四、充分使用現代教育技術手段

現代教育技術的快速發展加快了課程改革的進度。利用現代教育技術多媒體的輔助教學，一方面有利于提高課堂教學效率和教學質量，另一方面有利于提高學生的空間想象能力。譬如，針對空間解析幾何中的柱面、錐面、旋轉曲面等這些內容，可以根據柱面、錐面、旋轉曲面有比較突出的幾何特征這個特點，利用Maple、Mathematica和Flash等軟件畫出它們的圖像，再用動畫的形式來展現圖像是怎么形成的。通過系統講解可以讓學生受到啟發，充分理解所講的內容。這樣既能調動學生的學習積極性，又能培養學生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

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