關于求解費馬點問題的多種方法探究與綜述

李靜爽

摘要：本文主要針對經典的三角形費馬點問題及其加權推廣問題，對幾種方法（兩種數學和兩種物理解法）進行綜述和擴展，展現不同解法的不同知識層次和邏輯思維方式，為不同的教育工作者都能提供一個較好的教學案例。

關鍵字：費馬點；加權費馬點；二元極值；最小勢能；光行最速

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）21-0231-03

費馬點問題的原型為生產實踐中經常遇到的一類問題——選址問題。例如在三個城市之間建造一個垃圾場，如何選擇垃圾場的位置，使其到三個城市的距離之和最小，這就是經典的三角形費馬點問題。進一步地，若從三個城市向垃圾場運送垃圾的代價不同，且與其距離成正比，如何選擇垃圾場的位置使其總代價最小，那么就變為一個加權費馬點問題。

費馬點問題是17世紀時，由法國數學家費馬在寫給意大利數學家托里折利的一封信中最早提出，最早由托里拆利解決。因此該問題后來被稱為費馬點問題。有關費馬點的研究很多，推廣應用也很多。主要是費馬點問題具有多層次性，可以用初等數學知識求解，也可用高等數學知識求解，還可與物理知識結合求解。題目可變換多種形式和深度，設計為中學題目，競賽題目，可作為大學課堂例題，也可作為研究性課題，甚至是推廣到組合優化中的斯坦納樹問題。本文主要針對經典的三角形費馬點問題及其加權推廣問題，對幾種方法進行綜述和拓展，展現不同解法的不同知識層次和不同的邏輯思維方式，為不同的教育工作者均能提供一個較好的素材。

本文詳細闡述和推導了求解三角形費馬點問題的四種方法，并且每種方法均推廣到了求解加權費馬點的問題。二元極值法需要利用高等數學中多元微分的知識，方法嚴謹，但不利于觀察其中的幾何特征；梯度法同樣需要高等數學知識，方法簡潔，且與幾何特征相聯系，是學習梯度時較好的課堂案例；最小勢能解法和光行最速解法為物理解法，構思巧妙，學科交叉，啟發思維，可以作為數學教學的案例，更可以作為物理應用的教學案例，都有助于培養學生的創造性思維。

參考文獻：

[1]郭鏡明，韓云瑞，章棟恩，等.美國微積分教材精粹選編[M].高等教育出版社，2012.