基于有效矩和粒子濾波方法的帶跳躍杠桿SV研究

呂龍　鄧平軍

摘要：隨機波動率（SV）模型的精確似然函數(shù)很難得到而模擬卻很容易實現(xiàn)，可借助有效矩方法（EMM）完成估計，但單純的EMM估計無法得到波動率序列，需要借助濾波算法。本文通過蒙特卡洛仿真實驗發(fā)現(xiàn)連續(xù)粒子濾波算法（CSIR）比普通粒子濾波算法精度更高；對滬深300期貨指數(shù)的實證分析進一步發(fā)現(xiàn)，添加杠桿效應后的模型（SVL，SVLJ）能更好地描述滬深300期貨指數(shù)的波動情況。

關鍵詞：有效矩；波動率；粒子濾波；半非參數(shù)密度

中圖分類號：F830.59 文獻標識碼：A

收稿日期：2015-11-02

作者簡介：呂龍（1986-），男，武漢人，華中科技大學經濟學院博士研究生，研究方向：金融市場和大宗商品市場；鄧平軍（1990-），男，河南信陽人，華中科技大學經濟學院博士研究生，研究方向：金融市場。

一、引言

金融市場波動率是金融領域的基礎性問題，對資產定價、風險管理有極其重要的意義，因而一直是研究的熱點之一。長期以來，國內外的學者們一直致力于找到一種準確度量市場波動率的方法。經過數(shù)十年的發(fā)展，在低頻數(shù)據上形成了兩大類刻畫波動率動態(tài)特征的方法：廣義自回歸條件異方差（GARCH）和隨機波動率（SV）模型。GARCH模型盡管“如實”地反映了波動率的“群聚效應”且估計簡單，但是其波動率的路徑完全取決于以往的信息，因而其對數(shù)據的擬合能力不如考慮新信息后的SV；另外，SV模型同連續(xù)隨機模型聯(lián)系緊密，很容易直接應用在期權或其他衍生品定價上，因而SV模型自誕生以來就一直為學術界所廣泛關注，尤其在其難點估計問題上，各種方法層出不窮。例如，Ruiz（1994）將卡爾曼濾波和極大似然估計結合，提出偽極大似然估計（QML）方法；Andersen和Sorensen（1996）將廣義矩（GMM）方法引入SV模型的估計中，并通過MC實驗驗證了其在大樣本下的有效性；Jacquier（1994）將馬爾科夫過程引入到MC方法中，提出馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法（MCMC）方法，該方法通過對參數(shù)后驗分布的不斷抽樣來估計參數(shù)，以規(guī)避直接求似然函數(shù)所面臨的高維積分問題。

MCMC方法在估計參數(shù)的同時還可以得到波動率序列且具有普通SV框架下易于實現(xiàn)、不依賴于大樣本、容易進行模型診斷等優(yōu)點，因此一經提出便迅速得到廣泛應用。Meyer和Jun Yu（2000）詳細介紹了在Winbugs軟件中使用MCMC方法估計SV模型的流程；Jacquier等（2004）將MCMC的應用從普通SV擴展到帶杠桿效應的SV-t上；Jun Yu（2005）使用MCMC模型估計了帶杠桿效應的SV模型，并對S&P 500和CRSP指數(shù)做了實證研究，發(fā)現(xiàn)兩大市場上均存在杠桿效應。受到國外學者的啟發(fā)，國內學者也開始運用MCMC方法估計SV模型，且很多都直接使用Winbugs軟件，如黃大海（2004）和朱慧明（2007）。然而，MCMC方法盡管有前述的諸多優(yōu)勢，但依然存在兩個無法回避的問題：（1）當SV模型比較復雜時，MCMC的設計會變得異常困難；（2）對MCMC的使用絕大部分學者嚴重依賴于Bugs系列軟件，而這類軟件對于使用者而言簡直是一個“黑箱”。相較于MCMC復雜的抽樣流程，Gallant和Tauchen（1996）綜合SNP和GMM所提出的有效矩（EMM）顯得更為直接。

目前，對EMM的研究還處在相當初級的階段，具體表現(xiàn)在以下幾個方面：（1） 輔助模型的選擇問題。部分文獻即使在非大樣本條件下，也僅僅使用普通的GARCH模型、EGARCH模型作為輔助模型，違背數(shù)據的真實特征。（2）波動率的估計問題。目前國內凡使用EMM模型研究SV問題的，無一例外僅給出參數(shù)估計的結果，卻閉口不提波動率序列的估計（這一情況也部分地存在于使用MCMC之外的其他方法估計SV的文獻中）。（3） 模型實現(xiàn)問題。絕大部分應用EMM的文獻（包括國外文獻）在實證分析部分都嚴重依賴Gallant等人的C++、Fortan程序包，而這些程序包（至少是早期版本）由于其所采用的優(yōu)化算法的缺陷，常因初值、矩陣不可逆等問題跳出。對于第一個問題，我們嚴格依照Gallant等學者提出的方法，依據BIC準則選取合適的SNP密度函數(shù)作為輔助模型；對于第二個問題，我們引入Malik、Pitt和Doucet（2011）提出的連續(xù)粒子濾波（CSIR）來解決波動率的估計問題；針對最后一個問題，我們使用Matlab 7.0來自主地實現(xiàn)本文的全部算法，并在EMM涉及到優(yōu)化的地方運用工程領域前沿的Cuckoo Search算法完成尋優(yōu)。

本文后續(xù)結構安排如下：第二部分介紹SVLJ模型，第三、四部分為方法論，詳細介紹了EMM和CSIR方法，第五部分運用SV、SVL和SVLJ三種方法分析了滬深300指數(shù)期貨的波動率情況，最后一部分為結論。

對于這一復雜的轉移密度，如果采用Jacquier（2003）所提出MCMC分析框架無疑會非常復雜，然而模擬其路徑卻是非常容易的，因此我們選擇有效矩方法來對SVLJ模型進行估計。

三、有效矩（EMM）方法

對于動態(tài)非線性模型而言，它一般包含了一些不能被直接觀測到的變量。SV模型作為一類重要的動態(tài)非線性模型，也是如此。這種特征使得我們用標準的計量方法來估計其參數(shù)時，面臨著諸多難題：由于SV模型中包含了一些不能被直接觀測到的隱藏變量，這使得我們很難甚至不能寫出它的似然函數(shù)，因此直接依賴于它的似然函數(shù)的參數(shù)推斷方法（如極大似然估計，MLE）等很難實施，而廣義矩估計（GMM）方法估計的有效性依賴于矩條件的選擇，這使得模型估計的效果會因為矩條件的選擇在估計效果上存在很大差異。但是，我們比較容易模擬這類動態(tài)非線性模型（SV等）的演化路徑。Gallant and Tauchen（1996）基于模擬的方法，提出了估計動態(tài)非線性模型的一種有效方法——有效矩估計（EMM）：首先，借助于一個輔助模型（通常是SNP模型）來刻畫原始數(shù)據的特征，通過一般的極大似然估計（MLE）來估計輔助模型的參數(shù)，進而得到輔助模型的轉移密度函數(shù)和得分（score）（在EMM模型中稱為得分生成算子，score generator），輔助模型的設定應盡可能逼近真實的數(shù)據產生過程；然后，模擬產生所要估計模型（結構模型）的序列數(shù)據，通過輔助模型生成結構模型的矩條件，采用GMM（最小卡方法）方法估計出結構模型參數(shù)的估計值。下面就EMM的實施過程進行詳細說明。

四、粒子濾波算法

相較于模型的參數(shù)估計，我們更希望得到“隱藏”的波動率序列。然而，包括EMM方法在內的絕大多數(shù)SV類模型的估計方法都無法直接得到隨機波動率序列，必須通過MCMC或濾波的方法來實現(xiàn)。在傳統(tǒng)的工程領域，常使用的濾波方法主要有三種：卡爾曼濾波（KF）、擴展的卡爾曼濾波（EKF）和無跡的卡爾曼濾波（UKF），后兩者是前者的衍生形式?？柭鼮V波雖然操作簡單易行，但是只能用于線性、高斯的狀態(tài)空間模型，EKF和UKF雖然可以進一步擴展到非線性的狀態(tài)空間模型，但是仍然局限于高斯觀測噪聲，且能夠處理的模型形式大多如下：

對于SV類模型這種觀測噪聲和觀測值呈非線性形式的模型直接使用上述三種方法顯然存在諸多困難，盡管通過對數(shù)處理可以將普通SV轉為線性形式，但當觀測噪聲確實非高斯的、考慮杠桿效應和跳躍項之后難度更大。Gordon和Salmond（1993）在序貫重要性采樣（SIS）算法基礎上提出的采樣重要性重采樣濾波器（Sampling Importance Resampling， SIR）比以往濾波算法具有更強的適用性，可以擴展到各種非線性、非高斯狀態(tài)空間中去。Carpenter（1999）正式提出粒子濾波（Particle Filter， PF）的概念，隨后粒子濾波迅速成為國內外相關領域的研究熱點，學者們提出了多種粒子濾波方法，我們在此主要引入S.Malik和M.K.Pitt（2011，2014）介紹的連續(xù)粒子濾波（CSIR）方法。

（一）連續(xù)粒子濾波

通過這一改進，我們可以直接通過最優(yōu)化式（11）來估計參數(shù)，從而同MCMC和QML方法一樣，參數(shù)估計和狀態(tài)估計同時實現(xiàn)。然而，這種方法雖然直接、簡潔，卻耗時較長，尤其當樣本數(shù)據較多，且粒子數(shù)目N取較大值（2000，5000）時，整個濾波過程會非常緩慢。因此，我們用前面介紹的EMM方法估計參數(shù)，然后在已知參數(shù)向量的情況下用CSIR濾波得到{ht}。

（二）蒙特卡洛模擬實驗

我們利用SVLJ模型隨機生成1 000個數(shù)據，假設SVLJ參數(shù)向量θ=[u，φ，ση，ρ，σJ，p]取值為[0.2，0.97，0.16，-0.8，2.5，0.009]，得到模擬的收益率序列、波動率序列和收益率跳躍序列如圖1所示。

我們分別使用SIS、SIR和CSIR三種算法來對波動率序列進行估計，以便合理地評價三種算法的效果。每種算法下濾波波動率和真實波動率的誤差平方和SSE、均方根誤差RMSE和擬合優(yōu)度R-square如表1和圖2所示。

從表1的計算結果和圖2可以看出，SIS算法的效果最差，該算法下的濾波結果基本無法反映波動率序列的真實情況；其次是SIR算法，雖然少數(shù)樣本點上對真實波動率的擬合較差，但是基本反映了真實波動率的變化趨勢，整體效果要遠高于SIS算法；表現(xiàn)最好的是CSIR算法，其和真實波動率的偏差要遠小于前兩種算法。

五、 實證分析

本文將第一部分介紹的帶有帶跳躍項的杠桿SV模型（SVLJ）、杠桿SV和普通SV用于實證，分析滬深300指數(shù)期貨收益率的波動，以進一步比較三種模型的優(yōu)劣。我們選取滬深300指數(shù)期貨的日收盤價數(shù)據為樣本數(shù)據，樣本區(qū)間為2011/01/04-2014/03/17，共計772個觀測值。對樣本取對數(shù)收益率yt=100*[Log（pt）-Log（pt-1）]，其中pt是收盤價（數(shù)據來源：Wind資訊）。圖3給出了上述樣本區(qū)間的收盤價和收益率序列圖，表2給出了收益率序列的描述性統(tǒng)計結果。

在使用EMM估計之前，需要首先確定SNP密度的各項階數(shù)。根據Gallant和Tauchen（2002）的方法，我們利用BIC準則來依次確定AR項、ARCH項、GARCH項、Hermit多項式的階數(shù)。為減少待估參數(shù)維數(shù)，我們假定Lp=1，故確定交互項的調整參數(shù)Iz=0，Ix=0。具體的結果如表3所示。

從表3結果來看，11114000模型對數(shù)據擬合程度最好。下面給出該模型的具體參數(shù)估計值和SNP密度曲線（見圖4和表4）。

從SNP密度曲線來看，其較正態(tài)分布的尾部更厚，且略微正偏，這與描述性統(tǒng)計的情況一致，表明SNP密度對真實數(shù)據擬合程度較好。

接下來我們可以正式利用EMM算法來估計三種SV模型。由于傳統(tǒng)的Quasi-Newton、LM等算法需要依賴雅克比向量或海賽矩陣中的信息，這樣在高維尋優(yōu)問題中不僅計算量大，還常常出現(xiàn)矩陣不可逆而導致算法停滯的問題。另外，這些算法對初始值選擇較為敏感：當初值接近全局最優(yōu)解時，尋優(yōu)效果較為理想，但當初值遠離全局最優(yōu)時，尋優(yōu)效果糟糕。而劍橋學者Xinshe Yang（2010）提出的Cuckoo Search算法（該算法由局部尋優(yōu)和全局Levy飛行兩部分構成），尋優(yōu)綜合效果不僅優(yōu)于傳統(tǒng)的LM等算法，而且較普通的GA、PSO等算法也更為優(yōu)越。為此，前面的輔助SNP和下面的結構模型（SV、SVL、SVLJ）的估計過程中遇到的最優(yōu)化問題均采用Cuckoo Search來完成。

從表5和表6估計結果來看，三種SV模型μ的取值比較接近，即長期波動率水平約為1.1；同時滬深300指數(shù)期貨的波動率持續(xù)性較高（持續(xù)系數(shù)0.95左右），且SVL和SVLJ模型都顯示杠桿效應在樣本期間內是顯著存在的；SVLJ顯示跳躍概率為0.0051，約合每年跳躍1.86次，這一結果略高于部分時期的現(xiàn)貨市場，造成這一結果的原因有：（1）樣本期間內，指數(shù)幾乎呈單邊下跌態(tài)勢，而“熊市”中市場參與者比平常更為敏感，更易對外部信息做出過度反應；（2）相較于現(xiàn)貨市場， 期貨市場屬于T+0交易，再加之策略交易的成規(guī)模使用，使得類似于“烏龍指”事件發(fā)生的概率較現(xiàn)貨市場要高得多，易引發(fā)市場異常波動。

由于Pitt（2011）所提出的CSIR算法較以往的PF算法濾波效果更為理想，因此這里仍然使用該算法得到滬深300指數(shù)期貨在樣本期間內的波動率序列。通過對比觀察濾波得到的波動率序列和收益率的絕對值序列，我們發(fā)現(xiàn)前者的變化特征基本與后者一致，表明SVLJ模型較好地捕捉了收益率序列的動態(tài)特征，具體結果如圖5和圖6所示。

為了進一步診斷模型，我們通過判斷SVLJ、SVL和SV模型殘差的分布函數(shù)值是否服從均勻分布來驗證模型的設定和估計是否正確。由圖7和圖8可知，對于SVLJ模型和SV模型而言，QQ圖近似于直線且不存在自相關性，因而可斷定這兩種模型比較適合刻畫樣本的動態(tài)特征；反觀SV模型，其QQ圖明顯呈曲線狀，表明其殘差的分布值不是均勻分布。由此可見，忽視杠桿效應的SV模型無法反映市場的真實情況。

六、結論

本文重點討論了對包括SVLJ這種兼具杠桿效應和跳躍效應的特殊SV模型在內的三種隨機波動率模型的參數(shù)估計和濾波問題，得到如下主要結論：（1）連續(xù)的粒子濾波（CSIR）較其他兩種濾波算法更為精確，能夠更好地反映“真實”的波動率的動態(tài)特征；（2）利用SVLJ、SVL和SV模型對滬深300指數(shù)期貨波動情況的研究發(fā)現(xiàn)，在樣本期內，波動具有較強的持續(xù)性，同時收益率序列具有偏高的跳躍概率，而杠桿效應是顯著存在的；（3）對波動率和殘差的診斷表明，SVLJ和SVL模型能夠較好地描述滬深300期指的波動情況。

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Abstract： It is very difficult to obtain the likelihood function for Stochastic Volatility models， but simulating the paths is comparatively easy to operate. Owing to this reason， we take the advantage of Efficient Method of Moments （EMM） to estimate parameters， but the simple EMM estimation cannot get the volatility sequence， we need to use the filtering algorithm. Through comparing with ordinary particle filtering algorithm in Monte Carlo simulation， we find the CSIR has a better performance. The empirical analysis of CSI 300 future index shows SV model with leverage effect （SVL） and SV model with leverage effect and jumping （SVLJ） can better describe the volatility of CSI 300 futures index.

Key words：efficient method of moments； volatility； particle filtering； semi-nonparametric density

（責任編輯：張曦）