向量在解決立體幾何二面角問題中的應用

胡麗麗

【摘 要】高中數學在新課標理科增加了空間向量，自向量引入到高中教材，人們逐步發現它在越來越多的地方發揮著巨大的作用。它使幾何問題代數化，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，從而提高學生的學習效率，事實上向量在解決立體幾何求二面角問題時有它獨特的優勢。

【關鍵詞】二面角；向量；法向量；方向向量；空間直角坐標系；立體幾何；平面角

二面角是人教A版高中數學必修2第二章2.3.2小結的內容，概念的本身“從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角”很容易理解，但二面角的大小用它的平面角來度量，去求解二面角的平面角卻并不容易，用立體幾何方法求二面角是學習的難點，如果用傳統的方法去做題，需要按“做-證-求”三步來完成，需要借助輔助線而且不容易做不出二面角，更不用說求解，所以這時我們想到了向量，用向量的方法求解二面角讓問題簡化。那么利用向量求二面角大小的方法如下：

方法規律：主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數量積的夾角公式計算.但在處理二面角問題時會遇到如何判斷二面角的平面角與兩個法向量夾角的關系問題，要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。

思想方法：

1.合理建立空間直角坐標系

（1）使用空間向量解決立體幾何問題的關鍵環節之一就是建立空間直角坐標系，建系方法的不同可能導致解題的簡繁程度不同.

（2）一般來說，如果已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點的三條直線時，就以這三條直線為坐標軸建立空間直角坐標系；如果不存在這樣的三條直線，則應盡可能找兩條垂直相交的直線，以其為兩條坐標軸建立空間直角坐標系，即坐標系建立時以其中的垂直相交直線為基本出發點.

（3）建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關系，在沒有垂直關系時要通過其他已知條件得到垂直關系，在此基礎上選擇一個合理的位置建立空間直角坐標系.

2.易錯防范

二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α，β的法向量，要根據向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量，的夾角是相等，還是互補.

總之，遇到求解空間二面角的問題可以結合向量法應用，同時以二面角為模型載體，鞏固向量法，進一步體驗其優越性及方法的獨特魅力。

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