基于“無套利分析法在期權定價中”的教學探討

胡芳

摘 要 期權作為一種衍生的金融工具，在套期保值、套利與投機中均可發揮一定的作用，特別是，個股期權在我國已經看展仿真交易。運用無套利均衡分析法給期權定價是金融工程學的重點內容，但現行的教材大多是直接給出一個組合，沒有進行具體闡述，讓很多學生無法理解。所以通過對定價過程進行全面的分析，以加強學生對期權定價和無套利分析法的深刻理解。

關鍵詞 無套利均衡分析法 期權 金融工程

中圖分類號：G624.41 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0002-02

金融工程，是一門新興的交叉學科，是一門集金融、數學、工程、計算機等多學科、多專業的復合型學科。現在很多金融學專業、金融工程專業、金融數學等相關專業都開設了這門課程。衍生產品的定價是其金融工程的重要內容之一，而其理論價格是投資者參與套期保值、套利和投機的依據。 無套利均衡分析，作為金融工程的基本分析方法，是金融衍生產品定價的核心技術，其實質就是簡單、基本的現金流復制技術。運用無套利均衡分析法給期權定價是金融工程教學中的一個重點但同時也是一個難點，大部分教材在講這一塊時，都沒有講的很清楚，只是簡單地給出一個構建的組合，比如給歐式看漲期權定價，就可以構建一個由一單位看漲期權空頭和一定單位的標的股票多頭，這樣就可以給期權定價了。這讓很多學生無所適從。因此需要對無套利均衡分析法在期權定價中的運用的教學設計做全面的分析，讓學生一目了然地掌握期權的定價，同時培養構造、創新的思想。

一、無套利均衡分析法的基本思想

金融產品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在無風險套利機會，這就是無套利定價原理。無套利，簡而言之，金融市場不存在套利機會，也即金融市場是有效的。在有效的金融市場如果存在相應的套利機會，也非常短暫，套利者就可以構造相應的套利組合實施套利，原來價格高的賣的人多了，價格回落。原來價格低的買的人多了，價格上升。所以套利行為的實施使得市場又重新回到無套利均衡狀態。因此，不存在無風險套利機會是金融產品定價是否合理的根本依據。而我們所要尋求的金融資產的合理價格，也就是這個金融產品的價格應該是使得市場上不存在任何套利的機會。

所以，無套利均衡分析法，簡單地理解為，作為定價者唯一要確定的是：當金融市場上其他金融工具價格給定的時候，某種金融工具的價格應該是多少，才使市場中不存在任何套利的機會？

二、傳統的運用無套利均衡分析法給期權定價時的教學設計

為了便于表述，我們定義以下符號的含義：f為看漲期權的價格。下面我們來看一個給歐式看漲期權定價的實例。

例題1：假設一只不支付紅利的股票現在的價格是20元，預計3個月后漲到22元或是跌到18元，并且假設無風險利率為12%，求執行價格為21元的該股票歐式看漲期權的價值。

為了找到該期權的價值，可以構建一個由一單位看漲期權空頭和△單位標的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權到期時無風險，△必須滿足下式：

22△-1=18△，求得△=0.25。由于該組合在期權到期時其價值恒等于4.5元，因此是無風險組合，其現值為4.37。所以有20？.25-f=4.37，求得f=0.63。

三、對以上歐式期權定價案例教學設計的改進

我們要給歐式期權定價，首先要對期權這類金融衍生工具其未來的現金流特征進行分析。期權到期的價值取決于股票未來的漲跌狀況。我們可以畫一個簡單的圖形來看。

在分析了標的股票和期權到期的現金流狀況以后，接下來我們就要試圖運用無套利均衡分析法給期權定價。首先通過上述圖形我們發現，股票和期權未來價值與其上升狀態和下跌狀態有關。其次，通過對期權的理解，如果未來股票價格超過其執行價格，則期權可能被執行，就有價值，否則，期權不會被執行，作為投資者損失的是少量的期權費。結合期權的特征，以及無套利均衡分析法的關鍵技術即“復制技術”，下面我們就考慮如何復制。因為期權和標的股票未來都有兩種狀態也就是未來的現金流不確定，所以一種資產不能完全復制，因此這里還要借助其他的金融工具即無風險資產。兩種狀態用兩種金融資產就可以進行復制了，接下來我們分別從兩個不同的角度進行復制。

（一）用股票和無風險資產的組合復制看漲期權

可以構造一個與看漲期權的收益相同的投資組合：x單位股票并投資y元到無風險資產上。首先在期初時刻該組合的現金流是20x+y；在3個月后即到期時刻該組合的現金流分為兩種情況：一是當股價上身到22元時，該組合的現金流為22x+ye0.12？.25；一是當股價下跌到18元時，該組合的現金流為18x+ye0.12？.25。運用無套利均衡的分析方法，如果復制組合與被復制組合的未來損益即現金流相同，則當前的價格應該相等，否則會出現相應的套利行為。所以要保證這兩個組合的終值相等，因此可以得到如下關系式：

解得x=0.25，y=-4.37，所以持有0.25單位的股票多頭與4.37單位無風險債券空頭的組合與一單位看漲期權組合的損益相同，則在初期兩個組合的當前價值應相等即：f=20x+y，則有f=0.63。也就是說，當該看漲期權價格為0.63時，市場上不存在無風險套利機會。

（二）用股票和看跌期權的組合來復制無風險資產

我們也可以構造如下組合：n單位股票和m單位歐式看漲期權組成復制組合，而被復制組合由一單位無風險資產構成。分析該復制組合的現金流特征：在期初時刻該組合的現金流為20n+mc；在期末即到期時刻其現金流也分兩種情況，一是當股價上升到22元時其現金流為22n+m，一是當股價下跌至18元時其現金流為18n，運用無套利均衡的基本思想，保證這兩個組合的終值相等，必須使得以下關系式成立：

解得n=0.0572，m=0.2288，所以持有0.0572單位的股票多頭與0.2288單位的看漲期權空頭頭構成的組合與無風險債券構成的組合的損益相同，即有：1=20n+mf，則有f=0.63。

四、結論

對于一個有效的金融市場來說，如果市場上存在套利機會，則會有相應的套利活動出現，這時對于投資者來說，如何判斷是否有套利機會，必然涉及到某種金融產品的定價是否合理，從而做出相應的投資活動。通過對無套利均衡分析法的基本思想進行分解，把它簡化為通過復制，找到復制組合與被復制組合。如果復制組合與被復制組合未來的損益相同，則當前的價格應該相等，即“同損益同價格”。所以，通過構造不同的組合，都可以幫助投資者對衍生金融產品期權的市場價格作出一定的判斷，從而做出相應的投資行為，另外在構造組合的過程中，也給出了如果存在套利機會，投資者如何套利獲得無風險利潤的方法，這對金融市場的參與者來說有一定的現實意義。

參考文獻：

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