圖形關系對判別式的作用

吳金梅　王斌

宜城市龍頭中學，湖北 宜城 441400

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0039-01

上完人教版初三代數《一元二次方程》進行章節檢測時，檢測第九題是這樣的：

已知x1，x2是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的兩個實數根，求x12+x22的最大值。

有不少學生是這樣解的：

由題意，得x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5

∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）

=-k2-10k-6=-（k+5）2+19

由此學生斷定當k=-5時，x12+x22的最大值為19。實際上，當K=-5時，原方程中的根的判別式△<0，許多學生忽略了這一點。

學生出現失誤的主要原因，應該是忽視了判別式的應用范圍，或者說對其模糊不清。為此，筆者認為可以從以下四個方面加以重視。

一、重視判別式和根與系數的關系，實際應用中它們常常相互依存

例1：（就以開篇列舉的這道檢測題為例）

解析：顯然，此題有△=-（K+4）（3K+4）≥0，即-4≤K≤-；再由根與系數的關系推出X12+X22=（X1+X2）2-2 X1X2=19-（K+5）2。至此，方顯現出只有二者的相互依存，才能求出正確答案，即K=-4時，X12+X22的最大值是18。這是那一方都不可能單獨解決的問題。

二、重視方程有二次根式或三角函數參加時，它們的取值范圍對判別式的制約

例2：（1）關于X的方程x2+X+K=0有兩個不相等的實根，求K的取值范圍。

（2）已知方程sin2 -2sin +m=0有實根，且 是銳角，求m的取值范圍。

解析：解此二題均可首先從判別式入手：

即△（1）=（）2-4K>0，則K<1；△（2）=4-4m≥0，則m≤1。再次，被開放數的取值范圍不能忘，即K+3≥0，所以K≥-3，故K的取值范圍是-3≤K<1；而由銳角三角函數的取值范圍可知：0三、重視方程涉及幾何圖形時，圖形關系對判別式的作用

例3：已知a，b，c為△ABC的三邊長，試判斷二次方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0的根的情況。

解析：判別一個一元二次方程根的情況要用根的判別式，而判別式：

△=（b2+c2-a2）2-4b2c2=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a）。顯然，要用到三角形中的兩邊之和大于第三邊的關系式。

因為b+c-a>0，b-c+a>0，b-c-a<0，b+c+a>0，所以△<0。

故方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0無實根。

四、重視已知條件與結論之間的呼應，試題往往在這方面隱含玄理

例4：已知方程（k2-1）x2+（k-1）x+1=0。試解：（1）K為何值時，方程存在實根；（2）K為何值時，方程有兩個實根。

解析：題（1）的方程存在實根，隱含著方程可以是一次，也可以是二次。分別有K=1時，方程無解；K=-1時，有-2X+1=0，則x+；k≠？時，△=（K-1）2-4（K2-1）≥0， 綜合知，當-≤k<1。綜合知，當-≤k<1時。方程存在實根。題（2）的方程有兩個實根，隱含著方程必為二次，所以有k≠？，且△≥0。所以-≤k<1或-1