積分幾何在中國(guó)的研究簡(jiǎn)介

摘 要 本文主要介紹積分幾何學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，以及對(duì)中國(guó)學(xué)者利用積分幾何對(duì)等周不等式的研究現(xiàn)狀進(jìn)行總結(jié)和展望。

關(guān)鍵詞 積分幾何 幾何概率 包含測(cè)度 等周不等式

中圖分類號(hào)：O187 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.017

Abstract The paper mainly introduces the growing history and development of integral geometry， summarizing and prospecting the research status of Isoperimetric Inequalities by using integral geometry of Chinese scholars.

Key words integral geometry； geometric probability； containment measure； isoperimetric inequality

1 積分幾何簡(jiǎn)介

積分幾何是利用積分考察和研究幾何圖形性質(zhì)的一門學(xué)科，是研究具有凸性對(duì)象的一種有力工具。積分幾何，過去也稱為幾何概率，它主要起源于1773 年布豐投針實(shí)驗(yàn)。

設(shè)有一個(gè)可度量區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)任意投一質(zhì)點(diǎn)，假設(shè)該點(diǎn)落于區(qū)域內(nèi)任一位置是等可能的，且落在內(nèi)任何子區(qū)域上的可能性與的度量（如長(zhǎng)度，面積等）成正比，而與的位置和形狀無關(guān)，則這個(gè)試驗(yàn)稱為幾何概型試驗(yàn)。利用幾何度量，如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積等求出部分的區(qū)域面積與總面積的比，部分線段的長(zhǎng)度與整條線段長(zhǎng)度的比，把這樣計(jì)算的概率在數(shù)學(xué)上稱為幾何概率。

積分幾何主要以圖形集合的測(cè)度為基礎(chǔ)，研究元素集的不變測(cè)度。積分幾何和概率與統(tǒng)計(jì)緊密聯(lián)系，通過這類測(cè)度得出的各種幾何不等式對(duì)其他學(xué)科和許多數(shù)學(xué)分支起著重要的作用。在數(shù)學(xué)在發(fā)展歷程中，克羅夫頓，貝特朗，H.龐加萊等的一系列有意義的研究工作，導(dǎo)致積分幾何這門學(xué)科的建立。德國(guó)數(shù)學(xué)家W.布拉施克與他的合作者發(fā)表了一系列重要論文，使積分幾何從此作為幾何學(xué)的一個(gè)新分支得到系統(tǒng)而深入的發(fā)展。

2 積分幾何與等周不等式的發(fā)展

在幾何學(xué)的發(fā)展史上，等周不等式是古典微分幾何學(xué)中一個(gè)著名、最基本的不等式，是指平面上固定周長(zhǎng)的所有平面簡(jiǎn)單閉曲線中，圓所圍成的面積最大，即：歐氏平面中，是周長(zhǎng)為的平面單閉曲線所圍成的面積，則有

≥0

式中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)是圓盤。

等周不等式可以推廣到維歐氏空間中，即有

≥0

其中為包含域的體積，為域的表面積，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)球。

周家足教授等幾何學(xué)家利用積分幾何方法得到不同等周不等式的證明方法，并得到許多新的成果。中國(guó)積分幾何學(xué)家任德麟等對(duì)積分幾何的各個(gè)領(lǐng)域都做出了極有意義的工作。特別是在凸體理論的研究中取得較為突出的成績(jī)，他建立了歐氏和非歐空間凸體內(nèi)定長(zhǎng)線段運(yùn)動(dòng)測(cè)度公式，在弦冪積分不等式到維歐氏空間的推廣、Buffln投針問題的推廣等方面取得重大成果。著有代表性論著《積分幾何引論》，并在國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表多篇關(guān)于積分幾何方面的論文，也由此形成了確定概率的另一重要方法，即利用概率來研究幾何的方法。

3 積分幾何與等周不等式的進(jìn)一步研究

在1940年前后，德國(guó)數(shù)學(xué)家布拉施克在德國(guó)漢堡大學(xué)舉辦的數(shù)學(xué)討論班中，討論了利用概率對(duì)各種凸體及整體微分幾何的研究，并導(dǎo)致了積分幾何這門學(xué)科的產(chǎn)生，從而正式成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。著名幾何學(xué)家陳省身、吳大任、Santal虻榷級(jí)曰旨負(fù)蔚難芯孔齔鮒卮蟮墓畢祝緋率∩硨蚖eil把局部緊群引入積分幾何，吳大任和蘇步青分別計(jì)算弦冪積分和研究三維球幾何，而后來Santal蛟諢旨負(fù)沃械慕艸齬ぷ鰨晌旨負(fù)蔚牧煨浜痛笫ΑU怯捎謁羌幸庖搴涂匭緣墓ぷ鰨鴉旨負(fù)蔚難芯刻岣叩揭桓穌感碌牧煊頡6礪匏故Ъ褿elfand以及Helgason的工作，也稱為積分幾何。

3.1 Bonnesen型Ros等周不等式

幾何不等式是幾何學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中最具實(shí)質(zhì)性意義，也是最耐人尋味的重要課題之一。從上世紀(jì)到今天，對(duì)于它的研究，不僅有了重要發(fā)展，今后仍然是值得數(shù)學(xué)工作者關(guān)注的一個(gè)重要分支。以周家足教授為代表的中國(guó)幾何學(xué)者利用包含測(cè)度的思想研究歐氏空間中一域包含另一域的包含測(cè)度，使得在后來的研究中，包含測(cè)度成為研究積分幾何不等式的一個(gè)重要的思想方法，并在平面情形得到了等周不等式、Bonnesen 型不等式及一些新的幾何不等式的統(tǒng)一證明。這一方法對(duì)高維歐氏幾何的推廣、發(fā)現(xiàn)新的積分幾何不等式，以及對(duì)解決一些長(zhǎng)期未能解決的幾何問題有重要意義，使得積分幾何與等周不等式的在中國(guó)的研究得到了積極的推進(jìn)，也取得了重大的突破。

設(shè)為歐氏空間中的域，體積為，為嵌入在中的閉光滑曲面，為的不變密度，若平均曲率≥0，則：

≥

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)為一標(biāo)準(zhǔn)球面。

在歐氏平面中，周家足得到了類似的不等式：

≥2

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)%<為圓。其中%<歐氏平面中長(zhǎng)度為的簡(jiǎn)單閉曲線，%<的弧長(zhǎng)為，為曲率，為%<圍成的面積。

利用等周不等式，后來周家足還把上式還進(jìn)一步加強(qiáng)為

≥

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)%<為圓。

此外，周家足及其學(xué)生等也對(duì)歐氏平面上經(jīng)典的等周虧格與空間中的Ros等周虧格做了系統(tǒng)的研究，得到了許多新的Bonnesen型Ros等周不等式，取得了豐碩的成果[7-12]。

3.2 常寬凸集及相關(guān)研究

常寬凸集是一類特殊的凸集，而圓是最常見，也是最簡(jiǎn)單的常寬凸集。 Reuleaux在1876年構(gòu)造出一種非圓的常寬凸集：在等邊三角形△中分別以為圓心，為半徑作弧，由這三段弧首尾相接并得到非圓的常寬凸集，稱為Reuleaux三角形。

由等周不等式可知，所有平面常寬凸集中圓所圍成的面積最大，所有寬度為的平面常寬凸集中，Reuleaux三角形的面積最小[1-3]。

徐文學(xué)等在文[8]中構(gòu)造了一類新的常寬凸集，即由對(duì)角線等于底邊長(zhǎng)構(gòu)造出的一類常寬等腰梯形，并且得到寬度為的常寬等腰梯形的面積為：

關(guān)于常寬等腰梯形等周虧格的進(jìn)一步研究，周家足等得到一系列重要的新的不等式，包括中的等周不等式，分析型不等式，曲面（流形）上的等周不等式，變分等周不等式，以及常曲率平面中關(guān)于面積、周長(zhǎng)和最大內(nèi)切圓以及最小外切圓半徑的Bonnesen-型不等式[10-14]，它們不僅豐富了等周不等式的內(nèi)容，也極大地推動(dòng)了等周不等式的研究。

4 展望

在未來的數(shù)學(xué)及其他學(xué)科研究中，積分幾何仍作為幾何學(xué)的一個(gè)分支，將得到幾何學(xué)家系統(tǒng)而深入的發(fā)展，積分幾何的研究是將進(jìn)一步從歐幾里得平面和三維歐幾里得空間開始以后，繼續(xù)推廣到高維歐幾里得空間和非歐幾里得空間，最后歸結(jié)為滿足一定條件的齊性空間。同時(shí)也期望在不同的常曲率空間的積分幾何進(jìn)一步發(fā)展，取得更多更新的成果，以及在歐氏平面、高維歐氏空間、非歐幾何空間以及齊性空間等的積分幾何研究將有更大的突破。如歐氏平面上等周虧格的上界估計(jì)，歐氏空間（>2）中等周虧格的上界估計(jì)，用積分幾何方法研究分析中的Wulff 流、Wulff等周不等式、曲面（流形）的中曲率流的問題，用積分幾何中包含測(cè)度的辦法研究平面兩凸域僅在平移群作用下的包含問題，即對(duì)稱混合等似虧格、Bonnesen 型對(duì)稱混合等似不等式，由平面偶數(shù)邊形構(gòu)造常寬凸集及歐氏3維空間中的Blaschke-Lesbegue 問題等還需要作更深入和系統(tǒng)的研究。

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