高等數學中的積分對稱美

汪小梅 朱華 楊志鵬

摘 要 本文由一元函數奇偶性的定義和對稱區間上“偶倍奇零”的結果，給出二元函數廣義奇偶性的定義，并以理論推導和幾何解釋相結合的方式得到積分區域關于軸對稱時的“偶倍奇零”，并進一步推廣到關于軸對稱，直線=對稱，原點對稱的二重積分以及三重積分，曲線積分，曲面積分，通過研究發現高等數學中的積分對稱有一定的規律性。

關鍵詞 奇偶性 對稱性 積分

中圖分類號：O13-4 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.019

Abstract The results of single variable function definition and symmetric interval "I times odd"， are binary function generalized parity definition， and by theoretical derivation and geometric interpretation combination get integral region on the X axis symmetry "even times odd"， and further extended to symmetric about the y-axis， the straight line y = x symmetry. Symmetry about the origin of the double integral and triple integral， curve integral， surface integral， through research found that the integral symmetry in higher mathematics has certain regularity.

Key words even and odd； symmetry； integral

宇宙中的許多事物都具有某種對稱性，從古今中外的精美建筑，到巧奪天工的生活世界，無不顯示出和諧優美的對稱。在高等數學的領域里，對稱也是一種美，這種美不僅體現在幾何的外觀形態上，還體現在其內在的規律上。

例如，定積分計算中的一個結論，

設 （）在[，]上連續，

①若 （）為偶函數，則 （） = 2 （）；

②若 （）為奇函數，則 （） = 0。

此結論成立必須要求兩點：（1）積分區域[，]對稱；（2）函數 （）必須具有奇偶性，而且當 （）為偶函數時就為兩倍0到的積分，若為奇函數則結果為零，所以我們簡稱此結論為對稱區間上的“偶倍奇零”。試想：如果將對稱區間推廣到對稱區域，將一元函數推廣到二元函數，那么二元函數在某對稱區域上的二重積分是否也有類似的結論呢？如果有，二元函數的奇偶性又將如何定義呢？

1 二元函數廣義奇偶性的定義

由一元函數的奇偶性定義知道，實際上是指一維空間中，關于原點對稱的任意兩點處的函數值如果相等就說明 （）是偶函數，互為相反數就為奇函數。同理，在二維空間中，我們嘗試給出二元函數在對稱區域上廣義奇偶性的定義。為了敘述的方便，我們統一稱為奇函數或者偶函數。此定義是相對于對稱區域而言，要判斷二元函數在該對稱區域上的奇偶性，需要注意兩點：（1）根據區域的對稱性，尋找相互對稱的任意兩點和；（2）判斷這兩點處的函數值關系，相等則為該對稱區域上的偶函數，相反則為該對稱區域上的奇函數。例如：積分區域關于軸對稱時，首先找出關于軸對稱任意兩點的坐標表達式，設任意（），其關于軸對稱的點為（）；第二步判斷他們的函數值關系，最后根據函數值關系判斷奇偶性。類似地，我們也可以判定其他情形對稱區域內二元函數的奇偶性的定義，于是二元函數廣義奇偶性的定義為：

如果二元函數 = （）的定義域是一個對稱區域（關于軸、軸、直線 = 、原點對稱），設HO，其對稱點為，若恒有 （） = （）（ （） = （））

則稱 = （）是該對稱區域上廣義的奇（偶）函數。

例1 判斷 （） = + 在關于原點對稱的區域上的奇偶性。

解：設任意一點 （），則其關于原點對稱的點為（），即 （） = （） = + ，而 （） = （） = + 。

很顯然 （） = （），所以 + 是關于原點對稱區域內的奇函數。

2 各類對稱區域（區間）上積分的化簡

2.1 積分區域關于軸對稱時的二重積分

以型積分區域為例，首先把二重積分化為先對后對的積分的二次積分，而且積分限是從到、從到，觀察內層積分，對積分時需要把看做常數，也就是說 （）實際上是以為自變量的一元函數，而且積分限對稱，根據定積分在對稱區間上的偶倍奇零得到啟示，若被積函數具有奇偶性，則可以進一步化簡。

（1）當 （）關于為奇函數，即 （） ≡ （），實際上這個等式的成立，也就是 （）在內為奇函數的定義，按照偶倍奇零的原則可得這個定積分結果為零，因此整個積分為零；

（2）當被積函數 （）關于為偶函數，即 （）≡ （），這也說明 （）在內為偶函數。則內層積分等于2倍 （）從0到的定積分，然后再對取從到的積分，把2提到前面去，所以，該二次積分實際上就是1上的二重積分，所以結果為2倍1上的二重積分。綜合以上兩種情況可得：

若積分區域關于軸對稱，

其中1 = {（）∣≥0}是的上半部分。

此結論與我們前面學習過定積分在對稱區間上的偶倍奇零有相似之處，首先，結論成立仍然需要兩個條件：（1）積分區域關于軸對稱；（2）被積函數在內具有奇偶性。在使用此結論過程中這兩個條件必須同時兼顧缺一不可。并且當被積函數為該對稱區域上的奇函數時上二重積分為零，被積函數為偶函數時結果為兩倍1上的積分，所以我們把此結論簡稱為對稱區域上的“偶倍奇零”。

下面再通過直觀的幾何解釋進一步說明這個結論：首先如果積分區域關于軸對稱也就是說內任意一點 （），其關于軸對稱的點也一定在內，如果 （）≡ （）也就是說關于軸對稱任意兩點處的函數值互為相反數，根據二重積分的幾何意義可得 （）在上的二重積分為零。同樣的道理，當 （）≡ （），也就是說關于軸對稱的任意兩點處的函數值相等，由圖形可得 （）在上的二重積分就等于 （）在1上二重積分的2倍。

通過以上的理論推導和幾何解釋相結合的方式可得積分區域關于軸對稱時偶倍奇零。

對于其余的三種情形，當積分區域關于軸對稱，=對稱以及原點對稱是否也具有偶倍奇零的結論？（啟發）事實證明，只要積分區域具有某種對稱性，被積函數在該對稱區域內具有相應的奇偶性，就一定可以得到偶倍奇零。

2.2 積分區域關于軸、直線=、原點對稱時的二重積分

若積分區域關于軸、直線 = 、原點對稱，設HO，其對稱點為

其中1表示位于對稱軸（點）一側的部分。

該結論的成立一定要求積分區域對稱，被積函數具有相應的奇偶性，而且為奇函數時結果為零，偶函數時結果為2倍1上的二重積分，因此我們簡稱利用對稱性計算二重積分的原則為對稱區域上的偶倍奇零。

例2 計算（∣∣+∣∣+ + ）

解：首先畫出積分區域的圖形，這個圖形比較特殊是由四條線圍成的菱形區域，為了敘述方便這四個部分按象限分別記為1，2，3，4，經過觀察發現此積分區域關于軸對稱，如果要利用結論，被積函數在上必須具備奇偶性，該被積函數在從整體上來看顯然沒有奇偶性，但是如果把被積函數分成四個部分來看，就會發現前三個函數都是上的偶函數，而是上的奇函數，所以首先利用二重積分的性質，先將所求積分分解為兩個積分之和，而且第一個積分被積函數為上的偶函數，第二個積分被積函數為上的奇函數，根據對稱區域上的偶倍奇零，第一個積分就為1+2上二重積分的2倍，而第二個積分結果為零，剩下的問題就轉化為求∣∣+∣∣+ 在1+2上的二重積分，這時1+2是關于軸對稱，由前面計算的過程得到啟發，如果積分區域關于軸對稱，由積分區域關于軸對稱的結論。因為1+2是關于軸對稱的，∣∣+∣∣滿足 （）≡ （），滿足 （）≡ （），所以∣∣+∣∣在1+2上二重積分就為2倍1上的二重積分，在1+2上二重積分為零。結果就為4（∣∣+∣∣）在1上的二重積分，其中1為積分區域的第一象限。為了計算∣∣+∣∣在1上的二重積分，按照通常的做法算出最后的結果為三分之四。

實際上，該積分區域關于原點對稱也可以按照原點對稱的偶倍奇零原則來計算該題。通過計算發現合理地利用對稱性的結論，可以大大簡化二重積分的計算，但使用時必須時刻關注積分區域對稱和被積函數相應的奇偶性，只有在兩者同時滿足的情況下才可以利用偶倍奇零的原則。

這種偶倍奇零的思想不僅適用于我們已經學習過的定積分和二重積分，而且對于我們后面將要學習到對稱區域上的三重積分、曲線積分以及曲面積分，也將采取同樣的思想。

2.3 對稱區域上的三重積分

如果三重積分 （）滿足如下兩個條件：區域由兩個對稱的部分與構成，對稱點為， ； （）在對稱點的值 （）， （）相等或互為相反數，則有如下結論：

若積分區域由兩個對稱部分和構成，設HO，其對稱點為

其中表示位于對稱軸（點）一側的部分。

2.4 對稱區域上的曲線積分

如果曲線積分 （）滿足如下兩個條件：積分曲線由兩個對稱的部分與構成，對稱點為， ； （）在對稱點的值 （）， （）相等或互為相反數，則有如下結論：

若積分曲線由兩個對稱部分和構成，設HO，其對稱點為

其中表示位于對稱軸（點）一側的部分。

2.5 對稱區域上的曲面積分

如果曲面積分 （）滿足如下兩個條件：曲面由兩個對稱的部分與構成，對稱點為， ； （）在對稱點的值 （）， （）相等或互為相反數，則有如下結論：

若積分曲線由兩個對稱部分和構成，設HO，其對稱點為

其中表示位于對稱軸（點）一側的部分。

以上都是高等數學中常見的幾類積分，通過研究發現只要具備相應的條件，利用定積分“偶倍奇零”的結果，可以推導出相應的結論，這些結論如果利用恰當，可以大大簡化計算，以更加清晰的思路、高效率地為高等數學的教學和學習提供方便。