論無窮大的性質(zhì)

邢秀俠

摘要：本文詳細討論了無窮大的性質(zhì)，對工科大學(xué)生深入理解無窮大并靈活應(yīng)用其性質(zhì)來求極限具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：極限；無窮大；無窮??；未定式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）16-0244-02

在高等數(shù)學(xué)課程中，極限是最基本的概念，而無窮小是最簡單的極限，所以它的地位舉足輕重，也正因此，在國內(nèi)現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材中，關(guān)于無窮小的性質(zhì)都做了充分的討論。而關(guān)于無窮大，通常是簡化處理，給了定義之后就利用無窮大與無窮小互為倒數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于無窮小的討論了，因而都沒給出詳細的討論。

在多年的高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生們雖然都知曉無窮大與無窮小的關(guān)系，但在實際求極限碰到無窮大量時多數(shù)情況總是無計可施，遠不如處理無窮小量那么熟練，因為他們對無窮小的性質(zhì)耳熟能詳，但對無窮大的性質(zhì)很不熟悉，更不知如何用了。眾所周知，七類未定式求極限中有五類均與無窮大有關(guān)，無窮大在實際也中有非常重要的應(yīng)用，比如在計算數(shù)學(xué)中常用同階無窮大來描述算法的計算復(fù)雜度，因此無窮大的地位也是非常特殊而重要的。事實上，通過研究無窮大的性質(zhì)來加深對無窮大的理解，對求極限以及無窮大的其他應(yīng)用都是十分常重要的，因而對其給予充分的討論是非常必要的。

與討論無窮小量的性質(zhì)類似，下面本文就嘗試來盡可能詳細地討論無窮大量的性質(zhì)，來看看關(guān)于無窮大量到底能給出哪些確定的結(jié)論。

首先，我們先給出無窮大量的階的定義。

定義：（無窮大量階的比較）設(shè)limf（x）=∞，limg（x）=∞.

（1）若lim =1，則稱f（x）與g（x）是等價的無窮大。

（2）若lim =C≠0，則稱f（x）與g（x）是同階的無窮大。

（3）若lim =0，則稱g（x）是f（x）的高階無窮大，或稱f（x）是g（x）的低階無窮大。

注1：本文中出現(xiàn)的極限符號lim表示自變量的七種變化過程中的任意一種，同一條定義或性質(zhì)中出現(xiàn)的極限符號lim均表示同一個自變量的變化過程，以下同。

下面，遵循由簡單到復(fù)雜的原則，我們分類列舉無窮大的性質(zhì)，并對其中三條較復(fù)雜的性質(zhì)給出嚴謹?shù)淖C明。

一、關(guān)于四則運算的性質(zhì)

（一）關(guān)于加減的性質(zhì)

性質(zhì)1：有限個同號無窮大相加、異號無窮大相減仍為無窮大。

性質(zhì)2：無窮大加減有界變量仍為無窮大。

性質(zhì)3：無窮大加減有極限的變量仍為無窮大。

性質(zhì)4：一個無窮大與它的低階無窮大之和與原無窮大等價。

（二）關(guān)于乘積的性質(zhì)

性質(zhì)5：有限個無窮大相乘仍為無窮大。

性質(zhì)6：無窮大與極限非零的變量相乘仍為無窮大。

性質(zhì)7：無窮大與絕對值有正下界的變量相乘仍為無窮大。

（三）關(guān)于商的性質(zhì)

性質(zhì)8：無窮大與非零無窮小的商仍為無窮大。

性質(zhì)9：無窮大與極限非零的變量相除仍為無窮大。

性質(zhì)10：無窮大與不等于零的有界變量相除仍為無窮大。

注意到由無窮小與無窮大之間的關(guān)系，容易知道性質(zhì)5～7分別與性質(zhì)8～10等價，性質(zhì)1～3和性質(zhì)5又比較簡單，因此下面僅給出性質(zhì)4、性質(zhì)6和性質(zhì)7的證明。

性質(zhì)4：設(shè)limf（x）=∞，limg（x）=∞，且lim =0，則lim =1.

證明：利用極限的四則運算法則、等價無窮大和低階無窮大的定義，得：

性質(zhì)6：設(shè)limf（x）=∞，limg（x）=C≠0，則lim[f（x）

證明：注意到 = · ，兩邊同時取極限，利用無窮大的倒數(shù)是無窮小的結(jié)論及乘積、商的極限法則，得：

.

性質(zhì)7：設(shè)limf（x）=∞，且存在δ>0，使得|g（x）|≥δ，則lim[f（x）g（x）]=∞.

證明：注意到| |≤ · ，利用無窮大的倒數(shù)是無窮小的結(jié)論以及無窮小比較定理，知上式左端為無窮小，再利用非零無窮小的倒數(shù)為無窮大，得lim[f（x）g（x）]=∞.證畢.

二、關(guān)于等價無窮大替換的性質(zhì)

與等價無窮小替換定理類似，下面我們也給出相應(yīng)的等價無窮大替換的性質(zhì)。

性質(zhì)11：設(shè)limf（x）=∞，limg（x）=∞，f（x）與 （x）等價，g（x）與 （x）等價，且lim 存在，則

證明：根據(jù)等價無窮大的定義和乘積的極限法則，得：

在求 型未定式的極限時，有個“同除以最高次冪”的技巧，有的教材上也稱其為“無窮小因子析出法”。雖然是在求兩個多項式的商的未定式的極限時引入的這個技巧，但其實使用這個技巧時應(yīng)不拘泥于形式，也就是說如果是兩個無理根式的商，或者是兩個指數(shù)函數(shù)的商等其他形式，只要是 型未定式，都可以嘗試利用個“同除以最高次冪”的技巧。可惜，好多學(xué)生往往意識不到這點。不過，當遇到類似的未定式求極限時，學(xué)生如果換成利用等價無窮大替換性質(zhì)的話，則可以比較快地求出它們的極限。

例1： .

解：由性質(zhì)4和性質(zhì)11，得

例2： .

解：由性質(zhì)4和性質(zhì)11，得：

參考文獻：

[1]范周田，張漢林.高等數(shù)學(xué)（上）[M].第2版.北京：機械工業(yè)出版社，2012.

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[3]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002.