論無窮大的性質

邢秀俠

摘要：本文詳細討論了無窮大的性質，對工科大學生深入理解無窮大并靈活應用其性質來求極限具有重要的意義。

關鍵詞：極限；無窮大；無窮小；未定式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）16-0244-02

在高等數學課程中，極限是最基本的概念，而無窮小是最簡單的極限，所以它的地位舉足輕重，也正因此，在國內現行的高等數學教材中，關于無窮小的性質都做了充分的討論。而關于無窮大，通常是簡化處理，給了定義之后就利用無窮大與無窮小互為倒數的關系轉化為關于無窮小的討論了，因而都沒給出詳細的討論。

在多年的高等數學課堂教學中，我們發現學生們雖然都知曉無窮大與無窮小的關系，但在實際求極限碰到無窮大量時多數情況總是無計可施，遠不如處理無窮小量那么熟練，因為他們對無窮小的性質耳熟能詳，但對無窮大的性質很不熟悉，更不知如何用了。眾所周知，七類未定式求極限中有五類均與無窮大有關，無窮大在實際也中有非常重要的應用，比如在計算數學中常用同階無窮大來描述算法的計算復雜度，因此無窮大的地位也是非常特殊而重要的。事實上，通過研究無窮大的性質來加深對無窮大的理解，對求極限以及無窮大的其他應用都是十分常重要的，因而對其給予充分的討論是非常必要的。

與討論無窮小量的性質類似，下面本文就嘗試來盡可能詳細地討論無窮大量的性質，來看看關于無窮大量到底能給出哪些確定的結論。

首先，我們先給出無窮大量的階的定義。

定義：（無窮大量階的比較）設limf（x）=∞，limg（x）=∞.

（1）若lim =1，則稱f（x）與g（x）是等價的無窮大。

（2）若lim =C≠0，則稱f（x）與g（x）是同階的無窮大。

（3）若lim =0，則稱g（x）是f（x）的高階無窮大，或稱f（x）是g（x）的低階無窮大。

注1：本文中出現的極限符號lim表示自變量的七種變化過程中的任意一種，同一條定義或性質中出現的極限符號lim均表示同一個自變量的變化過程，以下同。

下面，遵循由簡單到復雜的原則，我們分類列舉無窮大的性質，并對其中三條較復雜的性質給出嚴謹的證明。

一、關于四則運算的性質

（一）關于加減的性質

性質1：有限個同號無窮大相加、異號無窮大相減仍為無窮大。

性質2：無窮大加減有界變量仍為無窮大。

性質3：無窮大加減有極限的變量仍為無窮大。

性質4：一個無窮大與它的低階無窮大之和與原無窮大等價。

（二）關于乘積的性質

性質5：有限個無窮大相乘仍為無窮大。

性質6：無窮大與極限非零的變量相乘仍為無窮大。

性質7：無窮大與絕對值有正下界的變量相乘仍為無窮大。

（三）關于商的性質

性質8：無窮大與非零無窮小的商仍為無窮大。

性質9：無窮大與極限非零的變量相除仍為無窮大。

性質10：無窮大與不等于零的有界變量相除仍為無窮大。

注意到由無窮小與無窮大之間的關系，容易知道性質5～7分別與性質8～10等價，性質1～3和性質5又比較簡單，因此下面僅給出性質4、性質6和性質7的證明。

性質4：設limf（x）=∞，limg（x）=∞，且lim =0，則lim =1.

證明：利用極限的四則運算法則、等價無窮大和低階無窮大的定義，得：

性質6：設limf（x）=∞，limg（x）=C≠0，則lim[f（x）

證明：注意到 = · ，兩邊同時取極限，利用無窮大的倒數是無窮小的結論及乘積、商的極限法則，得：

.

性質7：設limf（x）=∞，且存在δ>0，使得|g（x）|≥δ，則lim[f（x）g（x）]=∞.

證明：注意到| |≤ · ，利用無窮大的倒數是無窮小的結論以及無窮小比較定理，知上式左端為無窮小，再利用非零無窮小的倒數為無窮大，得lim[f（x）g（x）]=∞.證畢.

二、關于等價無窮大替換的性質

與等價無窮小替換定理類似，下面我們也給出相應的等價無窮大替換的性質。

性質11：設limf（x）=∞，limg（x）=∞，f（x）與 （x）等價，g（x）與 （x）等價，且lim 存在，則

證明：根據等價無窮大的定義和乘積的極限法則，得：

在求 型未定式的極限時，有個“同除以最高次冪”的技巧，有的教材上也稱其為“無窮小因子析出法”。雖然是在求兩個多項式的商的未定式的極限時引入的這個技巧，但其實使用這個技巧時應不拘泥于形式，也就是說如果是兩個無理根式的商，或者是兩個指數函數的商等其他形式，只要是 型未定式，都可以嘗試利用個“同除以最高次冪”的技巧。可惜，好多學生往往意識不到這點。不過，當遇到類似的未定式求極限時，學生如果換成利用等價無窮大替換性質的話，則可以比較快地求出它們的極限。

例1： .

解：由性質4和性質11，得

例2： .

解：由性質4和性質11，得：

參考文獻：

[1]范周田，張漢林.高等數學（上）[M].第2版.北京：機械工業出版社，2012.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上）[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學（上）[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002.