關于積分概念的教學研究

代曉琳 王青建

【摘要】首先客觀闡述積分概念的產生及發展過程.繼而通過對比中學和大學數學教育中的積分概念，指出它們與歷史上的積分概念之間的聯系和區別.最后提出積分概念教學的建議.

【關鍵詞】積分概念，教學研究，歷史發展

一、積分概念的產生及發展過程

《中國大百科全書·數學》有關“積分”的定義為：積分是“定積分（黎曼積分）與不定積分的統稱；它們作為對函數的運算，是求導（函）數和微分運算的逆運算.”該條目接著給出不定積分和定積分的界定，進一步說明，定積分可以在區間有窮與函數有界兩個方面加以推廣為廣義積分，積分概念在變量的個數上還可以推廣到多元函數積分.

德國數學家萊布尼茨首先在著作中使用術語“calculus summatorius”表示積分，意思是“求和計算”.瑞士數學家約翰·伯努利主張將“求和計算”改為“求整計算”（calculus integralis），成為“積分學”（integral calculus）這一概念的前身.約翰的哥哥雅各·伯努利最初也使用“求和計算”，后來將其命名為“積分”（integral），成為今天的專業術語.我國數學中的“積分”一詞是由清代數學家李善蘭翻譯“integral”創用的，沿用至今.

積分的產生和發展過程可分為三個階段.準備階段（17世紀中葉之前），公元前5世紀古希臘數學家德謨克里特創立了原子論.認為：線段、面積和立體都是由一些不可再分的原子構成的，而面積、體積的計算方法就是將這些“原子”逐漸累加起來.實質上這已體現了積分的基本思想：將所求量分割成若干細小的部分，找出某種關系后，再將這些細小的部分用便于計算的形式積累起來，最后求出未知量的和.這和現代的積分法相比，主要沒有嚴格的極限思想.創建階段（17世紀中葉～19世紀），英國數學家牛頓給出流量的定義：“在相同時間內產生的量的大小取決于它們增加和生成的速度的大小，這樣的速度稱為流數，而所產生的量稱為流量.”流數可視為今天我們學習的導數，也近似于微分.那么流數之逆就相當于逆導數或不定積分.萊布尼茨把積分定義為“一個量的所有值的和，或無窮多個無限窄的矩形的和”.他強調“和”即為積分的意思.之后又論述了求積問題與微分的互逆性，并指出“積分”與“微分”的實質就是“和”與“差”.但在當時，積分作為一種逆運算的觀點比作為和的觀點更為流行.完善階段（19世紀～20世紀），1823年法國數學家柯西首次給出現代初等積分學教程中采用的定義.1854年德國數學家黎曼推廣了柯西積分的定義，強調在積分存在的情況下，極限值與劃分區間的方式和所選取的點集無關.隨著德國數學家魏爾斯特拉斯ε—δ語言的建立，極限概念得到了完善，從而分析學的算術化宣告完成.積分概念也“進化”到20世紀大學教科書中采用的ε—δ語言所闡述的形式.

二、數學教育中的積分概念

中學的積分教學，僅僅講授定積分知識.教學內容是由任一多邊形面積可以通過分割求和來得到，利用類似方法來求曲線圍成的區域的面積，從而引入定積分.通過對曲邊梯形面積和彈簧拉力做功兩個例題的研究，運用分割，以直代曲，求和，取極限的方法使定積分的概念逐步建立起來.兩個例題都是實際問題，雖然意義不同，但是解決問題的方法和步驟都歸結為求一個函數在某一閉區間上和式的極限問題.2007年人教版《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2—2》中定積分定義雖然在文字表述上很直觀，但還需借助幾何圖形，便于學生理解.《全日制普通高級中學數學教學大綱》和《普通高中數學課程標準（實驗）》都強調“引導學生初步了解定積分的概念，體會定積分的基本思想”.

華東師范大學數學系編寫的第三版《數學分析》中關于定積分概念同樣也是從曲邊梯形面積和變力做功兩個例子引出的.所引用的兩個問題最終歸結為一個特定形式的和式逼近，而解決這類問題的思想方法概括起來就是“分割，近似求和，取極限”.對于不定積分，教材通過引入原函數的概念敘述定義.簡單來說，就是求一個未知函數，使其導函數恰好是某一已知函數.

中學和大學的積分概念存在著異同.相同之處在于教學方法和思想類似，均為“分割，近似求和，取極限”.不同之處為中學的定積分概念采用了黎曼在1854年論文中敘述的定義，而大學的不定積分與柯西在《無窮小教程》中定義的相似，定積分定義運用魏爾斯特拉斯給出的ε—δ的極限定義來敘述，相對于中學的定積分定義來說比較注重符號化、形式化.

三、積分概念的教學探討

中國從1978年開始在高中人教版數學教科書中加入微積分內容.積分自然也成為數學教學的一部分.通過以上的比較分析，我們提出三點關于積分概念教學的建議：

1.遵循數學發展規律，建立積分教學的銜接性聯系

從數學發展史上來看，黎曼在柯西積分的基礎上加以推廣，于1854年給出更為接近今天高中的定積分概念.之后魏爾斯特拉斯的ε—δ語言定義類似于當今大學的定積分概念.因此，高中和大學的積分概念應該遵循數學史發展規律，由淺入深.中學階段需要學生了解積分的概念，特別對概念中思維關系的理解，體會近似代替思想和定積分思想.大學階段積分的教學需要學生深刻理解積分概念，還需要在數學及其他學科領域應用這種“和式的極限”思想.

2.根據學生的受教育程度和理解程度不同實施教學

中學階段對由直線段和圓弧圍成的平面幾何圖形面積計算相對容易，而對于由任意曲線圍成的平面區域的面積計算就束手無策.極限概念的出現解決了這一問題.黎曼給出的定積分定義是在幾何直觀下建立的，學生容易理解.大學階段定積分定義簡化為ε—δ語言的形式，完全脫離幾何學，只在數的觀念上建立，因而相比高中的定義就更加抽象，在理解程度上有所難度.由此，我們在教學中要改善教與學的方式，使學生主動地學習.不能只限于形式化的表達，應注意揭示數學的本質.

3.注重體現積分概念的來龍去脈，引導學生經歷積分概念從具體到抽象的過程認知心理學研究表明，概念的形成要求學生由大量的具體事例概括出關鍵特征，即新概念.積分概念較為抽象，在教學中要注重體現積分概念的來龍去脈，通過對具體事例的講解分析，引導學生經歷概念從具體到抽象的過程，從而在運用中逐漸理解積分概念的本質.

總之，了解積分概念的產生和發展，掌握不同教育階段的積分概念，并與歷史上的積分概念進行對比學習，客觀分析在教學實際中可能出現的問題，才能達到更好的教學效果！

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